一、实验目的

1. 熟悉利用模拟滤波器设计数字滤波器的基本过程；

2. 熟悉双线性变换法设计数字滤波器的基本原理；

3. 熟悉基于matlab的实现双线性变换法设计Butterworth低通数字滤波器。

1.  利用模拟滤波器设计数字滤波器

利用模拟滤波器设计数字滤波器是数字滤波器设计的间接方法。其基本原理是先设计出模拟滤波器，然后通过频带变换和数字化的方法把模拟低通滤波器变换成数字滤波器。主要方法有冲激响应不变法，阶跃响应不变法和双线性变换法。其中双线性变换法由于没有频率响应的混叠失真，可适用于低通、带通、高通和带阻各种滤波器设计，比其它两种方法适用范围更广。

 2. 双线性变换法

（1）基本思路

模拟滤波器数字化成数字滤波器的方法，就是要把s平面映射到z平面，使模拟系统函数Ha(s)变换成所需数字滤波器的系统函数H(z)。

双线性变换是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换，它使得Ω和ω之间是单值映射关系可以避免频率响应的混叠失真。

（2）变换关系

     使用双线性变换法，模拟滤波器的s域系统函数与数字滤波器的z域系统函数存在如下变换关系

                                                                      （1）

     T为抽样间隔，fs=1/T。

    模拟滤波器的频率响应与数字滤波器的频率响应存在如下变换关系

                                                                       （2）

    模拟滤波器的频率Ω到数字滤波器的频率ω是非线性频率变换关系

                                                                       （3）

    双线性变换法主要用于分段常数的频率响应滤波器中，例如低通、高通、带通、带阻等，这是大多数滤波器都具有的幅度特性。分段常数的模拟滤波器AF，经变换后仍然为分段常数的数字滤波器DF，但是各分段的临界频率点由于非线性频率变换而产生变化，这种变化可以用频率“预畸”来加以克服。频率预畸即若给定数字滤波器的截止频率为ωi，则根据上面公式（3）将它预畸为                    ，以此Ωi来设计“样本”AF，将设计好的“样本”AF经双线性变换后，就得到所需的DF，它的截止频率正是原先要求的ωi，预畸是双线性变换法设计必须要的一步。

3.双线性变换法实现模拟到数字的滤波器的matlab实现

      [bz,az]=bilinear(b,a,Fs)

式中，b、a分别为模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数；Fs为抽样频率；bz、az分别为数字滤波器系统函数的分子分母多项式系数。设计时必须有模拟原型滤波器的频率预畸。

4. 模拟低通Butterworth滤波器的设计的matlab函数

[b,a]=butter(N,Omegac,’s’)

其中b,a分别为设计出的滤波器的分子多项式与分母多项式的系数向量。

所设计出的模拟低通滤波器的系统函数的为N阶的形式如下。

Butterworth滤波器是全极点型的，没有零点。

求模拟低通Butterworth滤波器的零极点及增益的matlab函数表示

[z,p,k]=butter(N,OmegaC,’s’)

三、实验内容

1. 试用双线性变换法设计一个巴特沃思低通数字滤波器，低通滤波器的技术指标用模拟频率给出，其通带截止频率fp=1500HZ；通带最大衰减RP=1dB；阻带截止频率为fst=2500Hz；阻带最小衰减As=20dB，抽样频率Fs=10KHz。

（1）写出matlab设计程序并运行；

（2）绘出巴特沃思滤波器的幅度特性图；