2020年8月更新：增加一个时域和频域的转换关系图，增加相应小节1.5 2021年8月更新：增加第6章小波去噪的内容

信号在实际测量中，难免会混入各种噪声。通常我们希望去除高频的随机噪声，或者是偏离正常测量太大的离群误差，以获得低频的测量数据。下面介绍几种常用的信号平滑去噪的方法。

还是惯例声明：本人没有相关的工程应用经验，只是纯粹对相关算法感兴趣才写此博客。所以如果有错误，欢迎在评论区指正，不胜感激。本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。

本章参考目录 1《数字信号处理》-胡广书 2《Digital Signal Processing - A Practical Guide For Engineers and Scientists》 - Steven W.Smith

作为开篇第一个方法，会夹带一些数字信号处理的基本方法，可能会导致篇幅比较啰嗦，之后几章我会尽量挑重点的讲解。

滑动平均法（moving average）也叫做移动平均法、平均法、移动平均值滤波法等等，是一种时间域思想上的信号光滑方法。算法思路为，将该点附近的采样点做算数平均，作为这个点光滑后的值。 一般窗口为对称窗口，防止出现相位偏差。窗口一般为奇数。 以3点平均（窗口长度为3）公式为例，原数据为x，平滑后的数据为y： y ( n ) = 1 / 3 ∗ ( x ( n − 1 ) + x ( n ) + x ( n + 1 ) ) y(n)=1/3*( x(n-1)+x(n)+x(n+1) ) y(n)=1/3∗(x(n−1)+x(n)+x(n+1)) 对y(n)和y(n+1)相减，可以得到另一种计算形式： y ( n + 1 ) = y ( n ) − 1 3 x ( n − 1 ) + 1 3 x ( n + 2 ) y(n+1)=y(n)-\frac{1}{3}x(n-1)+\frac{1}{3}x(n+2) y(n+1)=y(n)−31​x(n−1)+31​x(n+2) 当然这两者都是等价的。

matlab有两个函数实现滑动平均法，一个是smoothdata()函数，一个是movmean()函数。 以窗口长度为5为例，smoothdata()函数调用方法为：

但是这个smoothdata函数实际上是调用了movmean()函数。所以如果直接使用的话，直接用movmean()会更快。 movmean()函数的调用方法为：

下面以一个加噪声的正弦信号为例：

根据之前的公式，我们可以看到 y ( n ) = 1 / 3 ∗ ( x ( n − 1 ) + x ( n ) + x ( n + 1 ) ) y(n)=1/3*( x(n-1)+x(n)+x(n+1) ) y(n)=1/3∗(x(n−1)+x(n)+x(n+1)) 就相当于一个对x和向量[1/3 1/3 1/3]做卷积。 可以验证：

中间部分两者完全一致，但是两端有所差别。主要是因为，movmean()函数在处理边缘时，采用减小窗口的方式，而conv()相当于在两端补零。所以如何处理边缘也是值得注意的。

首先介绍一下Z变换。以向前的滑动平均为例（这里中间值不是n而是n+1，所以相位会移动）。 y ( n ) = 1 / 3 ∗ ( x ( n ) + x ( n + 1 ) + x ( n + 2 ) ) y(n)=1/3*( x(n)+x(n+1)+x(n+2) ) y(n)=1/3∗(x(n)+x(n+1)+x(n+2)) 它的Z变换可以简单的理解为，把x(n+k)替换为z^(-k)，即 H ( z ) = 1 3 ( z 0 + z − 1 + z − 2 ) H(z)=\frac{1}{3}(z^{0}+z^{-1}+z^{-2}) H(z)=31​(z0+z−1+z−2)

因此对于filter滤波函数，输入的格式为：

其中b和a的定义为： H ( z ) = b 1 + b 2 ⋅ z − 1 + b 3 ⋅ z − 2 + ⋯ + b n ⋅ z − n + 1 1 + a 2 ⋅ z − 1 + a 3 ⋅ z − 2 + ⋯ + a m ⋅ z − m + 1 H(z)=\frac{b_1+b_2\cdot z^{-1}+b_3\cdot z^{-2}+\cdots +b_{n}\cdot z^{-n+1}}{1+a_2\cdot z^{-1}+a_3\cdot z^{-2}+\cdots +a_{m}\cdot z^{-m+1}} H(z)=1+a2​⋅z−1+a3​⋅z