【数学】泰勒公式

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【数学】泰勒公式

2024-07-12 11:44| 来源: 网络整理| 查看: 265

引言

一、泰勒公式

1.泰勒公式及推导

（1）推导

（2）公式

2.泰勒中值定理

（1）定理1（佩亚诺余项）

（2）定理2（拉格朗日余项）

（3）两个定理的区别

3.麦克劳林公式

二、常用的泰勒公式

三、泰勒公式核心考点

1.求极限

2.求高阶导

3.证明题

总结

ID：HL_5461

引言

对于任意无穷数，这里以 $\pi$ 为例，我们可以用多个 $\frac{1}{10}$ 的次方将其不断展开，即 $\pi =3.1415...=3\times( \frac{1}{10})^0+1\times( \frac{1}{10})^1+4\times( \frac{1}{10})^2+1\times( \frac{1}{10})^3+5\times( \frac{1}{10})^4+...$

类比的，对于一个函数 $f(x)$ ，我们也可以将它写作无穷多x的次方展开，即 $f(x)=a_0(x-x_0)^0+a_1(x-x_0)^1+a_2(x-x_0)^2+...+a_n(x-x_0)^n$

这也就是泰勒公式的诞生。

当然就像有限个 $\frac{1}{10}$ 的次方不能精确表示一个无穷小数一样，上述式子肯定有一定的误差，这个后文讨论。

一、泰勒公式 1.泰勒公式及推导（1）推导

我们将引言中所写式子记作 $P_n(x)$ ，所以有：

$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)^1+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+...+a_n(x-x_0)^n$

正如前面所说，这个式子有一定的误差，不能准确表示 $f(x)$ ，所以我们退而求其次，选择让这个式子无限接近 $f(x)$ ，即 $f(x)-P_n(x)$ 是 $(x-x_0)^n$ 的高阶无穷小。

接下来的任务是确定系数 $a_i$ 。我们先定一个条件：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处n阶可导。

那么如何让 $P_n(x)$ 非常接近 $f(x)$ 呢？只需满足两个条件：1. $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处函数值相等；2. $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处直到n阶倒数相等。

我们可以这样理解上面两个条件：函数值相等说明在同一个点处，导数相等说明函数变化一样，值一样变化一样，所以可以近似看作相等。以下是 $a_i$ 的推导过程：

$\because P_n(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处函数值相等

$\therefore f(x_0)=P_n(x_0)=a_0$ ， $a_0=f(x_0)$

对 $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 求一阶导，并带入 $x=x_0$

$\therefore f'(x)=P_n'(x)=a_1$ ， $a_1=f'(x_0)$

对 $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 求二阶导，并带入 $x=x_0$

$\therefore f''(x)={P_n}''(x)=2!\cdot a_2$ ， $a_2=\frac{f''(x_0)}{2!}$

不断求导、总结，所以：

$a_0=f(x_0),a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$

（2）公式

将前面算出的 $a_i$ 带入 $P_n(x)$ ，所以：

$P_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

由于在引言中说过，如果 $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 相比有一定误差，所以这里补充一个误差项就能与 $f(x)$ 相等了。我们将这个误差项称为余项，记作 $R_n(x)$ 。

所以泰勒公式就是如下形式：

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

除了 $R_n(x)$ 的前半部分是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的n次多项展开式 $P_n(x)$

$R_n(x)$ 称为余项，也是一个误差项

2.泰勒中值定理

泰勒中值定理是对余项 $R_n(x)$ 的讨论。

（1）定理1（佩亚诺余项）

设 $f(x)$ 在 $x$ 处具有直到n阶的导数，则有

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中， $R(x)=o[(x-x_0)^n]$ ， $(x\rightarrow x_0)$ 称为佩亚诺(Peano)余项。

该展开式称为 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 邻域的带佩亚诺余项的n阶泰勒公式。

（2）定理2（拉格朗日余项）

设 $f(x)$ 在包含 $x$ 的区间 $(a,b)$ 内有直到n+1阶的导数，在区间 $[a,b]$ 上有n阶连续导数，则对任意 $x\in [a,b]$ 时有

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中， $R(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ ，（ $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）称为拉格朗日余项。

该展开式称为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

注：对于拉格朗日余项的泰勒公式，根据定义，题目如果说在区间上有n+1阶的导数，那么做题时需展到n阶，n+1阶留给余项。

（3）两个定理的区别

这里可以结合前面定理内容加粗部分理解

1.成立条件不同。定理2对 $f(x)$ 的可导性要求更高。2要求区间可导，1只要求点可导；2要求可导至n+1阶，1只要求可导至n阶。

2.x的取值范围不同。定理1需满足 $x\rightarrow x_0$ ，仅适用于求极限问题；定理2中 $x$ 可在符合条件的区间 $[a,b]$ 上任取,甚至能取到任意实数，因此中值定理2更广泛地适用于证明题和近成似计算问题。 3.余项 $R_n(x)$ 形式不同,佩亚诺余项便于求极限,而拉格朗日余项能具体估算近似误差的大小。

3.麦克劳林公式

麦克劳林公式就是令 $x_0=0$ 时的泰勒公式：

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$

二、常用的泰勒公式 $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})$ $arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ $tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ $arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ $cosx=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$ $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})$ $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$ $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n-1))}{n!}x^n +o(x^n)$ 三、泰勒公式核心考点 1.求极限

方法：按上面给的重要泰勒公式无脑代入

例1：

求极限 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$