考虑以下两个函数：

    看上去似乎第二个函数更简单一些，图象也更好画一些。但对于下面一个问题：

    当x=1时，这两个函数值分别是多少？

    显然第一个函数值等于16+78+114+53=261，而第二个函数值我们只知道它等于sin1，却不知道sin1到底是多少。这说明对于一个多项式函数，我们总是能够根据自变量x的值求出对应的函数值，而三角函数、指数函数这类的就不可以。于是人们想，能否通过构建一个多项式函数来拟合这些不能直接求值的函数呢？

    泰勒中值定理便证明了，可以通过连续函数上的一个点，将其展开为一个多项式函数，如果这一点处可以无限求导，那么随着展开阶数的无限增加，两个函数便拟合得越来越精确，直到该多项式函数与原函数无限重合，并保留一个更高阶无穷小的误差。当误差忽略不计时，便实现了由这个多项式函数来替换原函数进行求值。其中这个多项式函数就是泰勒展开式，这个误差便是余项。

    如此一来，我们只需要知道sinx函数上的一个已知点，来构建一个多项式函数，这个多项式函数上任何一个x的函数值都与sinx上的函数值相同。此时求sin1的值，就可以直接把x=1代入多项式函数f(x)中即可。

   一睹芳容：

    不妨与多项式函数模板做个对比：

    首先需要理解，为什么系数会与处的各阶导数有关？

    体会以下语句：要想通过一个已知点构建两个一模一样的函数，那么就要保证两个函数在处的函数值、变化率、变化率的变化率、变化率的变化率的变化率……都相同。

    举个很多老师都举过的例子，我和你在同一时刻赛跑，如何保证我和你在接下来的时间内拥有完全一致的运动轨迹呢？首先就要保证我们的初速度相等，也就是两个曲线处的值相等。其次，还要保证我和你的加速度相等，也就是下一秒我加速1m/s，你也加速1m/s。到这一层还不够，还要保证“完成加速过程”的速度也一样，也就是我和你要在同样的时间内完成这次加速，否则如果你提前完成了加速，那我还是要落后于你。以此类推，我们还需要保证“完成加速的速度”的变化率也相等，这个变化率的变化率也相等……即处无穷阶的导数都要相等。

    例如在用多项式函数模拟sinx图象时，如果只精确到级别，那么拟合效果就是这样的：

    可以看到，虽然两个函数在x=0处拥有相同的变化率，但由于下一刻它们“变化率的变化快慢”不同，也就是二阶导数不同，因此函数的走向也越差越大。

    当精确到时，拟合效果是这样的：

    此时我们不仅保证了x=0处的初值相等、变化率相等，更进一步保证了再高一阶的变化率也相等，函数在越接近x=0处拟合得便越精准。但由于舍去了更高阶的系数，不能保证更高阶的变化趋势仍然相等，因此这个多项式函数仍然会逐渐偏离sinx的轨迹。

    当精确到时，拟合效果是这样的：

    可以看到在x=0附近拟合效果变得更好。随着进一步的精确，距离x=0越来越远的函数值也越来越准确。

   如果我们只看泰勒公式的第一部分，是不是有一种眼熟的感觉？当足够小，也就是取一段微分时，也就有了。在微分层面我们可以得到确切的变化量dy，但在宏观层面，用点处的切线来预测函数的走向是不准确的。

    既然一次函数的逼近程度不够，那就继续进行高阶逼近，直至无穷阶。

    从点本身，到这个点内在的第一阶、第二阶……一层层地深入点的每一阶，像从外向内穿过一个洋葱一样把每个可能影响函数走势的“层面”都进行矫正，最终就会打造出一个与原函数无异的拟合函数。而矫正每一层时所设定的常数系数，也就是各阶分母上的1！、2！、3！……就是数学家们推导出来的正确系数。

    虽然使用泰勒公式构造的多项式函数可以无限逼近原函数，但我们没办法把所有项都展开，也不必要全部展开。当达到足够的精确度时，我们就可以把后面更细微的逼近拢起来，写成一个高阶无穷小的形式，相当于函数的尾巴，记作。

    皮亚诺余项：

    皮亚诺余项是一种定性的描述，它讲的是“这个余项是一个更高阶的无穷小”。理解起来很简单，假如我们只展开到2阶，我们会得到：

    这当然是废话，因为如果再往下展开一项，就变成了：

    体会一下就可以理解。

    拉格朗日余项：

    拉格朗日余项是定量的描述，可以通过它来计算误差，具体推导需要使用拉格朗日中值定理等，在此不作详细说明。皮亚诺余项与拉格朗日余项是定性与定量的关系，本质上都是对逼近误差的描述。

    麦克劳林公式就是在使用泰勒公式时，选取的点等于0的情况。因为许多函数在零点都有易于计算的函数值，这些函数在零点处展开不失为一种绝佳的选择。

    只需给我们一个点，横向出发，我们可以一步步还原函数的全貌，此所谓“知一点而见世界”。纵向出发，深入点的内在，一阶一阶地求导、矫正、拟合，永无休止，此所谓“导一分而入无穷”。泰勒公式体现的是微积分“逼近法”的精髓，也何尝不是一种哲学境界呢？