如何理解三大微分中值定理? |
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微分中值定理是很重要的基础定理,很多定理都是以它为基础进行证明的。 1 罗尔中值定理 1.1 直觉 这是往返跑: ![]() 可以认为他从 ![]() 根据常识,因为要回到起点,中间必定有速度为0的点: ![]() 拳击比赛中,步伐复杂: ![]() 但不论怎样,只要最后回到起点,中间必定有速度为0的点: ![]() 这就是罗尔中值定理。 1.2 罗尔中值定理 设函数满足以下三个条件:
![]() 在开区间 ![]() 1.3 拓展 可能有的同学觉得,定理中的条件“ 大概有两个原因,首先,“开区间可导”条件更弱,包含了“闭区间可导”;其次,”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”,比如: 此函数在图像如下: ![]() 此函数就是在 2 拉格朗日中值定理 来看下交通管理中的区间测速: ![]() 时间 ![]() 可以据此算出平均速度为: 比如算出来平均速度为 下面是变速前进的速度变换动画(蓝色为大于,闪烁为平行即等于,绿色为小于): ![]() 如果限速 ![]() 约瑟夫·拉格朗日伯爵,法国籍意大利裔数学家和天文学家,以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。 2.1 拉格朗日中值定理 设函数满足以下两个条件:这个定理的几何意义就是,至少存在一点的切线与端点的连线平行;物理意义是,至少存在一点的速度与平均速度相等: ![]() 把它旋转一下,使得 ![]() 得到的就是罗尔中值定理,可见罗尔是拉格朗日的特例: ![]() 3 柯西中值定理 3.1 二维空间中的运动 之前讨论的是一维空间中的运动,下面来看看二维空间中的运动(关于这点,可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节)。假设参数方程: 描述了一个二维空间中的运动: ![]() 为了方便描述,令 ![]() 仔细分析此运动过程,刚开始的时候,速度 ![]() 所以需要不断转弯调整: ![]() 最终才能到达目的地: ![]() 容易想象,在转弯调整的过程中,必然会有 ![]() 那么两者所在直线必然也平行: ![]() 此时, 以及 必然相等: 这就是柯西中值定理。 3.2 定理 设函数可以把 这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义: ![]() 如果: 那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理,所以拉格朗日又是柯西的特例。 4 总结 三大微分中值定理的联系与区别: ![]() 本文为微分中值定理的节选,因为格式问题,还有一些证明、扩展没有贴上来,可以到原文去查看。 更多内容推荐马同学图解数学系列 |
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