第七章 |
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目录 一、求常系数线性齐次微分方程的通解 二、可分离变量的一阶微分方程 三、齐次方程 四、一阶线性微分方程 五、 可降解的高阶微分方程 六、常系数非齐次线性微分方程的特解形式 注://之后的都是注释,不是过程。 一、求常系数线性齐次微分方程的通解1.一般形式:y''+py'+qy=0。 2.齐次:“齐次”的含义就是次数相等,y''+py'+qy=0都是一次幂,所以是齐次线性微分方程,如果说加上一个常数c,变为y''+py'+qy+c=0,那么这个c是可以看作cy⁰,y的零次幂,就不是齐次微分方程了。 3.特征方程:有几阶导就看作几次幂。 4.求出特征根: ① 若有两个不同的特征根,通解y=C1*e^r1x+C2*e^r2x(对应例2) ②若有两个相同的特征根,通解y=(C1+C2x)e^rx(对应例3) ③若有一对共轭复根,通解y=e^αx(C1cosβx+C2sinβx)(对应例4) 例1:求y'=y的通解。 解:特征方程为r-1=0 ∴r1=1 ∴通解y=e^x例2:求y''-2y'-3y=0的通解。 解:特征方程为r^2-2r-3=0 //十字相乘法:1 -3 //1 1 ∴r1=3,r2=-1 ∴通解为:y=C1e^3x+C2e^-x例3:求y''+2y'+y=0的通解。 例4:求y''-2y'+5y=0的通解。 //求根公式:-b±√b^-4ac/2a 解:求根公式得r1=1+2i r2=1-2i ∴通解为:y=C1e^x*cos2x+C2e^x*sin2x //这种情况是共轭复根,规定i^2=1,√-1=i //r=α±βi //y=C1e^αx*cosβx+C2e^αx*sinβx 二、可分离变量的一阶微分方程解题步骤: 1.把y’写作dy/dx。 2.移项,使等式两边分别全为x,全为y。 3.对两边积分。 例1:求y'=2x的通解。 解:∵dy/dx=2x ∴dy=2xdx ∴∫dy=∫2xdx ∴y=x^2+C例2:求y'=e^2x-y,y|x=0=0的特解。 解:∵dy/dx=e^2x*e^-y ∴e^ydy=e^2xdx ∴∫e^ydy=∫e^2xdx ∴e^y=1/2*e^2x+C 代入x=0,y=0得C=1/2 ∴e^y=1/2*e^2x+1/2 两边同取对数得 y=ln(e^2x+1)/2例3:求xy'-ylny=0的通解。 出现或者能产生y/x的情况使用,实际上就是换元法,步骤: 1.设u=y/x。 2.所以y=ux、dy/dx=u+x*du/dx,将两者代入方程(化为y/x形式的那个方程)。 3.分离变量的方法。 例1:求齐次方程xy'=ylny/x的通解。 1.方程:y'+P(x)y=Q(x) 2.公式: 例1: 求y'+y=e^x的通解。 例2:y'-ytanx=secx的通解。
例3:y'+y/x=sinx/x,y|x=π=1的特解。 1.缺y型的形式:y''=f(x,y') 解题方法:令y'=p y''=p' 2.缺x型的形式:y''=f(y,y') 解题方法:令y'=p y''=p*dp/dy 例1:求(1+x^2)y''=2xy'的通解。(移项后符合y''=f(x,y'),是缺x型·) 例2:求yy''-y'^2=0的通解。(移项后符合y''=f(y,y'),是缺y型·) 1.一般形式:y''+py'+qy=f(x) 2.解题步骤: ①把f(x)看作0,视为齐次方程。 ②写出该齐次方程的特征方程,求出特征根。 ③与λ(例题中解释)相比,若λ=r1=r2(重根);若λ=r1或者r2(单根);若λ≠r1,r2(无根)。 ④重根k=2;单根k=1;无根k=0。 ⑤Q(m)的情况:看等式右边x的次数,一次幂设Q(m)=ax+b;二次幂设Q(m)=ax^2+bx+c;没有x设Q(m)=a。 例1:求y''-5y'+6y=xe^2x的特解形式。 例2:求y''+5y'+4y=6-2x的特解形式。 大家放心,草稿纸剩下的边边角角我都会用起来的,绝不会浪费纸张。如果有错误望指出。 |
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