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有一类无理根式，它的底数是一个分式，分子分母都是简单的一次整式，即为(ax+b)/(cx+d)，根指数为正整数n。

这类无理根式与其它有理函数的复合函数，求不定积分时，是有固定的套路的。其解法如下图所示：

具体运用的是换元法，即将这个无理根式记为变量t，将无理根式转化为有理函数，再求不定积分。其中参数ad-bc不等于0，这是为什么呢？看下去就会明白了。先找一道例题来练练手：

例1：求不定积分∫(1/x) * √((x+2)/(x-2))dx.

其一般步骤归纳如下：

(1)换元，t=f(x)(即为无理根式)，转化得到x=g(t)(为f(x)的反函数)，然后求dx=g'(t)dt. 化简就得到了一个关于t的分式不定积分∫g'(t)R(g(t),t)dt；

(2)部分分式分解法的运用，那是《老黄学高数》系列学习视频第291讲分享的方法。部分分式分解后，得到若干基本分式的不定积分的和；

(3)运用基本分式不定积分公式解不定积分。这套公式有很多，其中第二类基本分式的不定积分公式最多，在《老黄学高数》系列学习视频第298讲有概括，这里得到的是一个小女公式和一个小儿公式。代入公式，就可以了。

(4)再次换元，把函数的变量换回x. 从而得到原不定积分的解。

虽然无理根式的指数有无穷多种，但我们平时遇到最多的，还是关于二次无理根式的问题。由例1可以得到启发，如果我们对二次无理根式的普通形式预先完成所有换元的步骤，那么解这类不定积分，就会轻松许多。说干就干，如下图：

最后得到一个换元的公式。右边分子中有因式(ad-bc)，如果它等于0，那么换元就没有意义，这就是解法中规定它不能等于0的原因。

下面运用换元公式，再解一道例题试试。

例2：求∫dx/((1+x)√(2+x-x^2 )).

瞧，是不是方便得多？当然，这与例2不需要部分分式分解，有很大的关系，但运用换元公式，相对还是要简便一些的。不过这个解法并不只是针对二次无理根式的。接下来再看一道关于三次无理根式的例题。它只是在例1的基础上，把二次根式直接改成三次根式而已。

例3：求∫(1/x)√(3&(x+2)/(x-2))dx.

解题过程被老黄省略了部分分式分解部分。相当复杂的。因此这个结果老黄并无法像前两道例题一样，做出完整的检验。只进行分段检验，因此如果出现什么错漏，请自行查正，并请多多见谅。

你也可以像老黄上面推导二次无理根式的换元公式一下，对三次无理根式的换元公式进行推导。至于更高次的无理根式，虽然解法同理，但是非常复杂，几乎难以避免出错，因此运用计算机来解高次无理根式，更加经济实惠。这时可能需要对高次无理根式进行换元公式的推导，然而这个推导过去，却原来也没有那么难。

以上就是老黄对“分式型无理根式不定积分的解法”的分享，希望你能喜欢，更希望能对你有帮助。

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