关于分式函数，我们的普遍感受是这类函数不太好掌握，当涉及到单调性的应用问题时，我们应该想到图像法和导数法，更应该意识到此时应用导数法有很大的出错可能，而且出错以后往往想不清楚错在哪里。

[方法储备]：上述变形中最常用的两个变形为换元法和配凑法；

作函数\(g(x)=\cfrac{x}{x-1}\)的图像；

分析：准备作图前的变换，\(g(x)=\cfrac{x}{x-1}=1+\cfrac{1}{x-1}\)；

选\(y=\cfrac{1}{x}\)为变换作图的模板函数，开始变换如下，

[基本作图]：\(y=\cfrac{1}{x}\) \(\Rightarrow\) \(y=\cfrac{1}{x-1}\) \(\Rightarrow\) \(y=1+\cfrac{1}{x-1}\) \(\Rightarrow\) 对称中心为\((1,1)\)；

[快速作图]：相当于基本作图的简化版本，首先找到对称中心\((1,1)\)，过此点分别作直线\(x=1\)和\(y=1\)，这是两条渐*线；由两条渐*线将*面分为类似的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个象限，此时观察部分分式的分子[请确保分式的前面是\(+\)号，如果是\(-\)号，将减号移到分子上，部分分式的前面仍然写加号]，如果分子为正，则在类第Ⅰ和类第Ⅲ象限内作函数的图像，如图所示；

如果分子为负，则在类第Ⅱ和类第Ⅳ象限内作函数的图像；

作函数\(y=\cfrac{5x+1}{2x-1}\)的图像；

分析：先做相应的变形，\(y=\cfrac{5x+1}{2x-1}=\cfrac{5(x+\frac{1}{5})}{2(x-\frac{1}{2})}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{x+\frac{1}{5}}{x-\frac{1}{2}}\)

\(=\cfrac{5}{2}\cdot (1+\cfrac{\frac{7}{10}}{x-\frac{1}{2}})=\cfrac{5}{2}+\cfrac{\frac{7}{4}}{x-\frac{1}{2}}\)

快速作图：对称中心为\((\cfrac{1}{2},\cfrac{5}{2})\)；\(\cfrac{7}{4}>0\)，在类第Ⅰ和第Ⅲ象限作图，如下所示：

引申结论：