数字图像处理

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数字图像处理

2024-07-09 18:34| 来源: 网络整理| 查看: 265

基本知识（回顾）：

上一篇文章中提到的傅里叶切片定理是反投影模糊问题的重建方法的基础。

$G(w,\theta )=\int_{-\infty }^{\infty }g(\rho , \theta )e^{-j2\pi w\rho}d\rho$

以上是关于雷登变换得出的结果的 $g(\rho ,\theta )$ 进行的一维傅里叶变换得到的 $G(w,\theta )$ 其中 $\theta$ 已知。

并使用雷登变换代入得出如下结论（具体推导在上一章）：

$G(w,\theta ) = [F(wcos\theta ,wsin\theta )]$

总结就是，任意一个一维的投影的一维傅里叶变换可沿着一个角度提取一条线的 $F(u,v)$ 值得到。

$F(u,v)$ 是物体切面的二维傅里叶变换。

先解释一下反投影重建的意义：

在前文中提到了通过一束X射线带旋转的各个反投影在二维平面上叠加，来重现物体的二维切面，我们发现X射线带的旋转角度越小，反投影就越多，叠加这些反投影后的二维物体平面的物体轮廓就越精细，但是随着反投影越来越多，图像就会变得越来越模糊，反投影的意义就是使用滤波来消除模糊，使人们看着更舒适清晰。

使用平行射线束滤波 - 进行反投影重建：

方法：在计算反投影之前做简单的滤波。

我们已知二维傅里叶反变换为：

$f(x,y)=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$

像之前一样令 $u=wcos\theta$ ， $v=wsin\theta$ ，把上式表达成极坐标形式：

$f(x,y)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty }F(wcos\theta ,wsin\theta )e^{j2\pi w(xcos\theta +wsin\theta )}wdwd\theta$

根据傅里叶切片定理：

$f(x,y)=\int_{0}^{\pi}\int_{-\infty }^{\infty } |w|G(w,\theta )e^{j2\pi w(xcos\theta +wsin\theta )}dwd\theta$

分离成两个表达式， $\theta =0 \rightharpoonup 180$ 和 $\theta =180 \rightharpoonup 360$ ，并利用 $G(w,\theta +\pi ) = G(-w,\theta)$ 得出：

$f(x,y)=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty } |w|G(w,\theta )e^{j2\pi w(xcos\theta +wsin\theta )}dwd\theta$

由于是对 $w$ 和 $\theta$ 积分，我们可以令 $\rho =xcos\theta +ysin\theta$

原式为：

$f(x,y)=\int_{0}^{\pi}[\int_{-\infty }^{\infty } |w|G(w,\theta )e^{j2\pi w\rho }dw]d\theta$

我们发现中括号内是一个一维的接收信号带接受的信号的一维函数的傅里叶反变换，并附加了一个 $|w|$ （就是中括号中对 $|w|G(w,\theta )$ 进行傅里叶反变换）。

根据卷积定理，两个函数的卷积★等于两个函数的傅里叶变换乘积（反傅里叶变换也满足）。

得出原式：

$\small f(x,y)=\int_{0}^{\pi}[\int_{0}^{\infty } |w|G(w,\theta )e^{j2\pi w\rho }dw]d\theta=\int_{0}^{\pi}[s(\rho )\bigstar g(\rho ,\theta )]d\theta$

$\large \large {\color{Red} \small =\int_{0}^{\pi}[\int_{-\infty }^{\infty }s(xcos\theta +ysin\theta -\rho ) g(\rho ,\theta )d\rho ]d\theta}$

（其中 $\small s(\rho )$ 为频域函数 $\small |w|$ 的原函数）

由于 $|w|G(w,\theta )$ 是在频率域上的函数，所以 $|w|$ 在频率域的函数（截取后）如下左图， $|w|$ 在空间域上的函数如下右图。

我们发现空间域有明显的振铃现象，这就是导致反投影叠加出的二维切面图像变模糊的根本原因。

我们要做的就是给 $|w|$ 加窗限制带宽。

汉明窗：

当 $c = 0.54$ 时，该函数成为汉明窗。

回顾整体的平行射线束滤波进行反投影重建的步骤：

1.X射线带以不同的角度 ${\color{Red} \theta}$ 穿过后，计算每个投影的一维傅里叶变换。

2.使用滤波函数 ${\color{Red} |w|*h(w)}$ 乘以每个傅里叶变换（加窗）。

3.上部中得到的每个结果进行傅里叶反变换。

4.上部中得到的所有结果求和。

结果是：

$\large \large {\color{Red}f(x,y)= {\color{Red}\sum_{\theta =0}^{\pi }\int_{-\infty }^{\infty} |w|*h(w)G(w,\theta )e^{j2\pi w\rho }d\theta }}$

其中 $\rho =xcos\theta +ysin\theta$ 所以， $f(x,y)$ 也可写成 $f(\rho ,\theta )$ 。

使用平行射线束滤波反投影重建的例子：

左边未加窗的斜坡滤波器，右边加窗的斜坡滤波器，我们发现，在视觉上加不加窗都一样的，但是仔细放大看的话，还是加窗的滤波器振铃现象更小。

使用扇形射线束滤波 - 进行反投影重建：

从第三代CT开始，机器开始采用扇形射线束和环形接收器。前面介绍过，大概是这个样子：

下面是扇形射线束的几何原理：

这里包含了一些角度，分别是 $\alpha ,\beta , \theta$ ，下面来一一描述这些角度：

$\large \alpha:$ 源不动时，射线的偏移量，通过改变 $\large \alpha$ 值来发射若干射线形成这一个扇形。

$\large \beta :$ 当 $\large \alpha$ 变换完成并完成这一个扇形的时候，改变 $\large \beta$ 来移动源的位置。什么时候源转完一圈后，就是获取完成了。 $xcos \theta +ysin \theta = rcos \varphi cos \theta +rsin \varphi sin \theta=rcos(\theta -\varphi )$

$\large \theta :$ $\large \theta$ 随着 $\large \beta ,\alpha$ 的改变而改变， $\large {\color{Magenta} \theta =\beta +\alpha}$ 。

$\large \rho$ 是原点到射线 L的距离 $\large \large {\color{Magenta} \rho =Dsin \alpha }$ 。

根据在平行射线束得出的结论：

$\large f(x,y) \large \large {\color{Red} \small =\int_{0}^{\pi}[\int_{-\infty }^{\infty }s(xcos\theta +ysin\theta -\rho ) g(\rho ,\theta )d\rho ]d\theta}$

得到扇形射线束的公式：

$\large f(x,y)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\int_{-T}^{T}s(xcos\theta +ysin\theta -\rho )g(\rho ,\theta )d\rho d\theta$

在这里简单回顾一下：式中的 $\large g(\rho ,\theta )$ 是在 $\large \theta$ 角度下的这一波扇形射线（平行射线）穿过投影是获取的函数图像，可以理解为能量图。 $\large g(\rho ,\theta )$ 也是雷登变换的结果。

式中内部积分上下限的 $\large T$ 表示的是物体被包围在一个平面原点为中心，以T为半径的圆中，当 $|\rho |T$ 时， $g(\rho ,\theta )=0$ 。

下面我们对扇形射线束的几何公式进行变化，观察上图的扇形射线束几何公式我们可以清楚的看到， $\large \beta$ 控制着源的移动，而当源不变时， $\large \alpha$ 控制着射线的角度，所以我们更感兴趣的是关于 $\large \beta$ 和 $\large \alpha$ 的积分，所以我们先将公式化为极坐标形式。令 $x = rcos\varphi$ 令 $y=rsin\varphi$ ，得出

$xcos\theta +ysin\theta = rcos\varphi cos\theta +rsin\varphi sin\theta$

$=rcos(\theta -\varphi )$

所以原式为：

$\large \large f(x,y)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\int_{-T}^{T}s[rcos(\theta -\varphi )-\rho )]g(\rho ,\theta )d\rho d\theta$

刚才我们提到了，我们不想关于 $\large \rho$ 和 $\large \theta$ 积分，特征感觉并不明显，我们要对 $\large \alpha$ 和 $\large \beta$ 积分，观察上面粉色的公式，我们刚好可以替换成想要的。根据高数里二重积分的知识，我们把上式替换。

结果为：

$\small f(r,\varphi )=\frac{1}{2}\int_{-\alpha }^{2\pi -\alpha }\int_{arcsin(-T/D)}^{arcsin(T/D)}g(Dsin\alpha ,\alpha +\beta )s[rcos(\beta +\alpha -\varphi )-Dsin\alpha ]Dcos\alpha d\alpha d\beta$