\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\) 【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019） \({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)

必修第一册同步巩固，难度2颗星！

注 表中的\(k∈Z\)

解释 如何理解三角函数的单调性、最值？ 主要是结合图象及其周期性，比如如何理解正弦函数\(f(x)=\sin ⁡x\)在\(\left[-\dfrac{\pi}{2}+2kπ ,\dfrac{\pi}{2}+2kπ\right]\)单调递增? ① 在一个周期\(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)\)内，找到一个单调增区间\(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\)； ② 接着每隔一个周期\(2π\)个单位就有一个增区间，则\(\left[-\dfrac{\pi}{2}+2kπ ,\dfrac{\pi}{2}+2kπ\right]\)是\(f(x)=\sin ⁡x\)的增区间. 类似可得到正弦函数的减区间与最值，余弦函数的单调性与最值. (也可以利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质)  

【例】 求正弦函数\(f(x)=\sin ⁡x\)、余弦函数\(f(x)=\cos ⁡x\)在\(\left[0,2π\right]\)的单调性. 解 结合图象可得，正弦函数\(f(x)=\sin ⁡x\)的增区间是\(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，\(\left[\dfrac{3\pi}{2},2π\right]\)，减区间是\(\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]\)； 余弦函数\(f(x)=\cos ⁡x\)的增区间是\(\left(π,2π\right]\)，减区间是\([0,π)\).  

【典题1】 求下列函数的单调递减区间．   (1) \(y=\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)；$\qquad \qquad $ (2)\(y=2\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)． 解析 (1) 令\(z=2x+\dfrac{\pi}{3}\)，而函数\(y=\cos ⁡z\) 的递减区间是\(\left[2kπ,2kπ+π\right](k∈Z)\)． \(\therefore\)原函数递减时，可得\(2kπ≤2x+\dfrac{\pi}{3}≤2kπ+π(k∈Z)\)， 解得\(kπ-\dfrac{\pi}{6}≤x≤kπ+\dfrac{\pi}{3}(k∈Z)\)． \(\therefore\) 原函数的递减区间是\(\left[kπ-\dfrac{\pi}{6},kπ+\dfrac{\pi}{3}\right](k∈Z)\)． (2)\(y=2\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right)=-2\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4} \right)\)， 令\(z=x-\dfrac{\pi}{4}\)， 而函数\(y=-2\sin z\)的递减区间是\(\left[2kπ-\dfrac{\pi}{2},2kπ+\dfrac{\pi}{2}\right](k∈Z)\)． \(\therefore\) 原函数递减时，得\(2kπ-\dfrac{\pi}{2}≤x-\dfrac{\pi}{4}≤2kπ+\dfrac{\pi}{2}(k∈Z)\)， 得\(2kπ-\dfrac{\pi}{4}≤x≤2kπ+\dfrac{3\pi}{4}(k∈Z)\)． \(\therefore\)原函数的递减区间是\(\left[2kπ-\dfrac{\pi}{4},2kπ+\dfrac{3\pi}{4}\right](k∈Z)\)． 点拨 求三角函数\(f(x)=A\sin (ωx+φ)(ω>0)\)的单调性，利用换元法\(z=ωx+φ\)，把\(ωx+φ\)代入\(y=\sin ⁡z\)对应的单调区间；而由复合函数的单调性“同增异减”，\(y=2\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right)\)与\(y=2\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4} \right)\)的单调性相反.  

【典题2】 下列关系式中正确的是(　　)  A．\(\sin ⁡11°0,|φ|0,0