1.4.2　正弦函数、余弦函… 高中数学       人教A版2003课标版

1、理解正弦函数、余弦函数的单调性、最大值与最小值的概念；

2、会求三角函数的单调区间及最值；

3、进一步体会数形结合思想在数学中的重要作用。

学生在回顾任意角三角函数定义的基础上，利用高中函数概念的“集合对应”语言给出了正弦函数、余弦函数的定义，并且利用三角函数线画出了正弦函数、余弦函数的图象，如同一般函数的学习流程，解析式和函数图象是不分家的，学生自然地会对三角函数的图象加以研究，而对于图象中极其特殊的“周而复始”的性质已经在第一节课中有所介绍，本节课主要研究“耳熟能详”的奇偶性、单调性和最值。

重点：正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性和最值，研究函数性质的思想方法。

难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性和最值。

（1）首先，给出正弦函数、余弦函数的解析式，并说出函数的定义域和值域。

【目标】从函数概念入手，让学生体会脱离图象的纯代数方法的局限性。

（2）请学生画出正弦函数、余弦函数的图象。

【目标】学生动手作出正弦函数、余弦函数的图象，通过对图象直观形象的区分，让学生更好地复习“五点法”作图，帮助学生更好地理解图象。并且通过学生丰富的想象力，给出“S”型、“U”型的不同波浪线的叫法，使学生印象深刻。

（3）从正弦函数中，你看到了什么特征？

【目标】回顾周期性的概念，让学生体会三角函数的“周而复始”的性质，是不同于其他函数的。甚至基本函数中所学的单调性、周期性这里也有所不同，要在学习过程中渗透类比、转化、从特殊到一般及总结概括的能力。

1、学习函数的性质，是为了通过了解函数局部的性质，进而拓展到整个函数本身，是为了学习的方便而引入的。就像对于奇函数，如果知道其第一象限内的图象特征，就可以洞悉整个函数，势必能减少大量工作量。除了上节课我们研究的三角函数的周期性，之前熟悉的奇偶性、单调性也是帮助我们了解整个曲线的很好工具。

那你能判断正弦函数的奇偶性吗？

【目标】通过观察正弦函数的图象，可以很清楚地看到正弦曲线是关于原点对称的。但是对于奇函数概念的判断，学生必须用数学的严谨思维进行代数推理，利用诱导公式进行科学证明， ，不仅达到复习的效果，也让学生增强动手能力和提升数学的自信心，留下深刻印象。

2、正弦函数的对称轴有哪些？中心对称点呢？

【目标】在了解了正弦函数的奇偶性以后，教师要及时帮助学生做出总结：奇、偶函数只是关于点中心对称或者轴对称的特殊情况，而对于呈波浪线的三角函数来说，它的中心对称点和对称轴显然不止一个。启发学生总结概括出所有满足情况的点坐标或者直线方程。

3、结合图像，你认为对正弦函数、余弦函数单调性的研究，利用它们的哪一个周期内的情况研究比较合适？

【目标】通过老师提出问题，让学生思考，是选择 这个区间，还是选择 区间，而因为 恰好包含了一个单调增区间和一个单调减区间，启发学生最好选择前者，便于后期研究。通过观察正弦函数 在区间 上的图像，讨论它的单调性，写出正弦函数的最大值和最小值。

4、你能利用函数 的周期性，将区间 上的单调性扩展到整个定义域吗？写出函数 的单调递增和递减区间。

【目标】通过单调增区间的一一列举，指出其中左端点和右端点的规律，使学生通过自己的总结概念，将一个区间上的单调性扩展到整个定义域，通过字母表示，体现其无穷特征，同时提醒学生字母 的范围，以提高其思维的严密性。

5、观察余弦函数 在区间 上的图像，讨论它的单调性，写出余弦函数的最大值和最小值。你能利用函数 的周期性，将区间 上的单调性扩展到整个定义域吗？写出函数 的单调递增和递减区间。

【目标】在研究了正弦函数的单调性的基础上，学生模仿其研究的规律和方法，自己动手，选择区间，进而推广到整个定义域，是学生学以致用，立竿见影的课堂体现，学生的自信心也会随之提升。

6、观察图像，分别写出使函数 取得最大值1和最小值-1时的自变量 的集合。和使函数 取得最大值1和最小值-1时的自变量 的集合。

【目标】学生在研究了图象的周期性、奇偶性、单调性之后，对函数的波浪型图象已经非常清楚，根据图象已经能直接写出答案。并且对于字母的强调，已经有了自然的反应，能迅速、准确地得出结论。

例1、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取得最大值、最小值时的自变量 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。

（1） ；                         （2） 。   

例2、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：

（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 。

【点悟】（1）比较同名三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小，确定函数值的大小；（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。

例3、求下列函数的单调递增区间。

（1） ；             （2） 。

【点悟】求形如 或 （其中 ）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ”视为一个“整体”；② 时，所列不等式的方向与 、 的单调区间对应的不等式的方向相同（反）。但 中 时，应先用诱导公式转化为正的，同时要注意A的符号对单调性的影响。

（4）、合作探究：

1、求下列函数的最大值和最小值：

（1） ； （2） ； （3）

求三角函数的值域或最大值、最小值问题的常用方法：

（1）利用 ， 的有界性求值域；

（2）将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域，例如转化为 型值域问题，不要忘了 。

1、下列命题中正确的个数是（   ）。

① 的递增区间是 ；② 在第一象限是增函数；

③ 在 上是增函数。

A、1             B、2           C、3            D、0

2、函数 的最大值及取最大值时 的值为  （    ）。

A、                           B、

C、               D、

3、下列不等式中成立的是﹙   ﹚。

A、               B、             

 C、                        D、

4、函数 的一个单调递增区间是﹙  ﹚。

A、            B、        C、         D、

5、函数 的最小值是（    ）。

A、              B、            C、             D、

6、已知函数 的定义域为 ，则此函数的最大值为       ，最小值为       。

7、函数 的单调递减区间为             。

8、若函数 的最大值是 ，最小值是 ，求函数 的最大值与最小值及周期。

9、设函数 ， 图像的一条对称轴是直线 。（1）求 ；                    （2）求函数 的单调递增区间。

10、求函数 的单调区间及最大值、最小值。

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

（1）首先，给出正弦函数、余弦函数的解析式，并说出函数的定义域和值域。

【目标】从函数概念入手，让学生体会脱离图象的纯代数方法的局限性。

（2）请学生画出正弦函数、余弦函数的图象。

【目标】学生动手作出正弦函数、余弦函数的图象，通过对图象直观形象的区分，让学生更好地复习“五点法”作图，帮助学生更好地理解图象。并且通过学生丰富的想象力，给出“S”型、“U”型的不同波浪线的叫法，使学生印象深刻。

（3）从正弦函数中，你看到了什么特征？

【目标】回顾周期性的概念，让学生体会三角函数的“周而复始”的性质，是不同于其他函数的。甚至基本函数中所学的单调性、周期性这里也有所不同，要在学习过程中渗透类比、转化、从特殊到一般及总结概括的能力。

1、学习函数的性质，是为了通过了解函数局部的性质，进而拓展到整个函数本身，是为了学习的方便而引入的。就像对于奇函数，如果知道其第一象限内的图象特征，就可以洞悉整个函数，势必能减少大量工作量。除了上节课我们研究的三角函数的周期性，之前熟悉的奇偶性、单调性也是帮助我们了解整个曲线的很好工具。

那你能判断正弦函数的奇偶性吗？

【目标】通过观察正弦函数的图象，可以很清楚地看到正弦曲线是关于原点对称的。但是对于奇函数概念的判断，学生必须用数学的严谨思维进行代数推理，利用诱导公式进行科学证明， ，不仅达到复习的效果，也让学生增强动手能力和提升数学的自信心，留下深刻印象。

2、正弦函数的对称轴有哪些？中心对称点呢？

【目标】在了解了正弦函数的奇偶性以后，教师要及时帮助学生做出总结：奇、偶函数只是关于点中心对称或者轴对称的特殊情况，而对于呈波浪线的三角函数来说，它的中心对称点和对称轴显然不止一个。启发学生总结概括出所有满足情况的点坐标或者直线方程。

3、结合图像，你认为对正弦函数、余弦函数单调性的研究，利用它们的哪一个周期内的情况研究比较合适？

【目标】通过老师提出问题，让学生思考，是选择 这个区间，还是选择 区间，而因为 恰好包含了一个单调增区间和一个单调减区间，启发学生最好选择前者，便于后期研究。通过观察正弦函数 在区间 上的图像，讨论它的单调性，写出正弦函数的最大值和最小值。

4、你能利用函数 的周期性，将区间 上的单调性扩展到整个定义域吗？写出函数 的单调递增和递减区间。

【目标】通过单调增区间的一一列举，指出其中左端点和右端点的规律，使学生通过自己的总结概念，将一个区间上的单调性扩展到整个定义域，通过字母表示，体现其无穷特征，同时提醒学生字母 的范围，以提高其思维的严密性。

5、观察余弦函数 在区间 上的图像，讨论它的单调性，写出余弦函数的最大值和最小值。你能利用函数 的周期性，将区间 上的单调性扩展到整个定义域吗？写出函数 的单调递增和递减区间。

【目标】在研究了正弦函数的单调性的基础上，学生模仿其研究的规律和方法，自己动手，选择区间，进而推广到整个定义域，是学生学以致用，立竿见影的课堂体现，学生的自信心也会随之提升。

6、观察图像，分别写出使函数 取得最大值1和最小值-1时的自变量 的集合。和使函数 取得最大值1和最小值-1时的自变量 的集合。

【目标】学生在研究了图象的周期性、奇偶性、单调性之后，对函数的波浪型图象已经非常清楚，根据图象已经能直接写出答案。并且对于字母的强调，已经有了自然的反应，能迅速、准确地得出结论。

例1、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取得最大值、最小值时的自变量 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。

（1） ；                         （2） 。   

例2、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：

（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 。

【点悟】（1）比较同名三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小，确定函数值的大小；（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。

例3、求下列函数的单调递增区间。

（1） ；             （2） 。

【点悟】求形如 或 （其中 ）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ”视为一个“整体”；② 时，所列不等式的方向与 、 的单调区间对应的不等式的方向相同（反）。但 中 时，应先用诱导公式转化为正的，同时要注意A的符号对单调性的影响。

（4）、合作探究：

1、求下列函数的最大值和最小值：

（1） ； （2） ； （3）

求三角函数的值域或最大值、最小值问题的常用方法：

（1）利用 ， 的有界性求值域；

（2）将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域，例如转化为 型值域问题，不要忘了 。

1、下列命题中正确的个数是（   ）。

① 的递增区间是 ；② 在第一象限是增函数；

③ 在 上是增函数。

A、1             B、2           C、3            D、0

2、函数 的最大值及取最大值时 的值为  （    ）。

A、                           B、

C、               D、

3、下列不等式中成立的是﹙   ﹚。

A、               B、             

 C、                        D、

4、函数 的一个单调递增区间是﹙  ﹚。

A、            B、        C、         D、

5、函数 的最小值是（    ）。

A、              B、            C、             D、

6、已知函数 的定义域为 ，则此函数的最大值为       ，最小值为       。

7、函数 的单调递减区间为             。

8、若函数 的最大值是 ，最小值是 ，求函数 的最大值与最小值及周期。

9、设函数 ， 图像的一条对称轴是直线 。（1）求 ；                    （2）求函数 的单调递增区间。

10、求函数 的单调区间及最大值、最小值。