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搞笑图片的数学原理
这是一个在各论坛流传已久的图片。这个题目的描述虽不复杂,但仅凭大学本科的高等数学,实际上是搞不定这个问题的。 首先需要明确的是,上图中的被积函数 1−cosxx2 的原函数不是初等函数,因此无法使用牛顿-莱布尼茨公式,求解该积分值。 它的解法其实图片中已经给出了线索,那就是傅立叶变换的能量积分公式。 以下是推导步骤: 利用半角公式进行变换。 由半角公式: 2sin2x2=1−cosx可得: 1−cosxx2=2⋅sin2x24⋅x24=12(sinx2x2)2查常用函数的傅立叶变换表,可得: 代入能量积分公式,可得: ∫+∞−∞(sinx2x2)2dx=2π∫+∞−∞(rect(t))2dt=2π⋅1因此: ∫+∞−∞1−cosxx2dx=12⋅2π=π实际上,这类积分都是Dirichlet积分的变种,解法也不止一种。 参见: http://wenku.baidu.com/view/bb9c8ffe910ef12d2af9e71a.html http://wenku.baidu.com/view/1b47c415cc7931b765ce1547.html 下面回到原题,何为“能量积分”呢? 由电学的功率公式和欧姆定理可得: W=UI=U2R=I2R可见,无论 f(t) 表示电压U,还是表示电流I, [f(t)]2 都和功率成正比,即 ∫[f(t)]2dt 和能量成正比。 傅立叶变换的能量积分公式的物理意义是:同一信号的时域能量积分等于它的频域能量积分。通俗的说就是一个信号的能量,既可以看作是一段时间内信号能量的总和,也可看作是该信号各个频率分量的能量总和。 在历史上,该公式由Marc-Antoine Parseval于1799年发现,最初主要用于研究复变函数,后来才应用到傅立叶变换和信号处理领域。 它的更一般的描述为:一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和。 注:Marc-Antoine Parseval des Chênes,1755~1836,法国数学家。曾5次参选法国科学院院士,但都落选了。 欧拉公式由于欧拉大神的贡献很多,数学上以其命名的公式也有很多,而且知名度都不低。日常使用时,如果不以领域做区分,人们根本就不知道谈论的是哪个欧拉公式。 这里主要讨论复变函数领域的基石——欧拉公式: eix=cosx+isinx 自然对数e在讨论欧拉公式之前,首先要理解一下自然对数e的含义。 推荐阅读以下文章: https://www.zhihu.com/question/20296247/answer/29370489 这里对上文中的要点做一个摘要。 假设你在银行存了1元钱(下图蓝圆),很不幸同时又发生了严重的通货膨胀,银行存款利率达到了逆天的100%! 银行一般1年才付一次利息,根据下图,满1年后银行付给你1元利息(绿圆),存款余额=2元 银行发善心,每半年付利息,你可以把利息提前存入,利息生利息(红圆),1年存款余额=2.25元 假设银行超级实在,每4个月就付利息,利息生利息(下图红圆、紫圆),年底的余额≈2.37元 假设银行人品爆发,一年365天,愿意天天付利息,这样利滚利的余额≈2.71456748202元 假设银行丧心病狂的每秒付利息,你也丧心病狂的每秒都再存入,1年共31536000秒,利滚利的余额≈2.7182817813元 这个数越来越接近于e了! 哎呀!费了半天劲也没多挣几个钱啊! 对!1元存1年,在年利率100%下,无论怎么利滚利,其余额总有一个无法突破的天花板,这个天花板就是e,即: e=limn→∞(1+1n)n 自然对数的研究历史上面例子的体例,和现行教科书类似,都是直接以极限方式定义e。然而,这并不是自然对数在历史上的研究路径。 从利息出发的复利计算,或者说求高次幂运算,在历史上催生了最早的对数表(1614年)。然而,这个问题本身和e并无直接关联,使用常用对数同样可以求解复利问题。 真正催生自然对数e的是对数表的编制过程。 对于那时期的人们来说,编制对数表是件巨大的工程,常需要花费数学家数年,甚至数十年的时间。 在大量的实践中,人们发现采用 (1+1n)n,n≫0 为底,可以很大程度的节省计算量。 事实上,最早的几个对数表的作者中,纳皮尔采用 (1+1107)107 的倒数为底,而比尔吉采用 (1+1104)104 为底。这两个数分别是 1e 和e的近似值。 从e到欧拉公式早期的对数表作者虽然已经不自觉的享受e的好处,然而他们并没有明确发现或定义e。 e的定义有赖于微积分的发展。 十七世纪上半叶是微积分的萌芽时期,也可称为前牛顿-莱布尼茨时期。这里所提到的数学家,实际上只比牛顿、莱布尼茨,早一到两代人。 比如费马(Pierre de Fermat)在1636年之前,就知道: ∫a0xndx=an+1n+1,n≠−1于是人们自然会去思考: ∫a01xdx=?(1)两个耶稣会教士Grégoire de Saint-Vincent和Alphonse Antonio de Sarasa发现: ∫a01xdx=klogy这个发现表明, y=1x 曲线下的面积和y的对数成正比。 William Oughtred认为,如果采用合适的数为底的话,就可以约去比例因子k。从而上式可变为: ∫a01xdx=lnx他将这样形式的对数,称为自然对数。这实际上就是 (1+1n)n 节省计算量的原因。 William Oughtred,1575~1660,英国数学家。他对数学符号的发展产生很大的影响,现行的大于、小于符号就是他的发明。 到了John Bernoulli时代,积分问题扩展到如下形式: ∫dxax2+bx+c(2)显然,这类问题可以通过配方换元法,转换成公式1的形式。然而,其中的要害在于,求解方程 ax2+bx+c=0 ,而这个方程的解,有可能为复数。 出于解方程的需要,John Bernoulli系统研究了 limn→∞(1+1n)n 的性质,并认为它是一个重要的常数。这个思想明显影响了他的学生Euler。 除此之外,在求解公式2的特例: dxb2+x2(3)John Bernoulli发现,可以令 x=−1−−−√b(t−1)/(t+1) ,从而上式变为: −dt−1−−−√⋅2bt(4)公式3的积分是 arctan ,而公式4的积分是一个虚数的对数。利用这种方法,可以建立三角函数和虚数对数之间的关系。 这里需要指出的是,John Bernoulli对于复数的理解仍停留在Cardano的水平,这里的虚数对数和后面提及的复数指数、复数对数在内涵上是不同的,仅仅是种解方程的技巧而已。 1740年,Euler发现 y=2cosx 和 y=e−1√x+e−−1√x是同一个微分方程的解,因此它们应该相等。 1743年,Euler进一步指出: cosx=e−1√x+e−−1√x2,sinx=e−1√x−e−−1√x2−1−−−√最后,在1748年,Euler指出: eix=cosx+isinx虚数符号i虽然也是Euler的发明,但那是1777年以后的事情了。这里用的是现代的表示方法。 这个结果最早是Roger Cotes于1714年发现的,Euler算是重新发现。 从牛顿到John Bernoulli、Euler,无穷数列成为当时数学家的一项工具。上述等式中很多都是基于函数的无穷数列展开式的性质得出的。 但与现在主要采用泰勒展开式不同,当时更知名的展开公式是牛顿发明的二项式定理,泰勒展开式用的并不多。 复变Euler公式Euler时代,人们虽然对于复数的性质做了颇多的探索,但仍难以逃脱“复数是解方程的技巧”的束缚。这主要体现在两个方面: 1.尽管Euler晚年已经有复平面的概念,但他对复数的几何意义研究甚少。在他看来,为复数这种因解代数方程而引入的技巧,提供一种几何解释,是一件不太自然的事情。 2.复数的实部和虚部是分开处理的,用途局限于求解实变量微积分。最典型的例子就是,Euler时代的Euler公式,其自变量x是实数。 之后,随着复平面、复数的向量表示逐渐被人接受,人们开始倾向于接受复数是一种数,而不仅仅是一种解方程的技巧。 在复数的系统化中,做出最大贡献的,当属Augustin-Louis Cauchy。 具体到Euler公式,Cauchy针对复变函数的特性,定义了如下规则: f(z) 为一复变函数,且满足: 1. f(z) 在复平面内处处解析。 2. f′(z)=f(z) 。 3.当 Im(z)=0 时, f(z)=ex ,其中 x=Re(z) 。 最终符合这一条件的函数为: ex(cosy+isiny)因此,复变Euler公式为: ez=ex(cosy+isiny)可见,与原始的Euler公式不同,复变Euler公式不是证明出来的,而是定义出来的。 总结1.Cardano解三次方程发明虚数。 2.高次幂运算催生对数表。 3.对数表的编制过程中,发现了e。 4.Euler根据无穷数列展开式,发现Euler公式。 5.Cauchy定义了复变Euler公式。 参考: 《古今数学思想》 《不可思议的e》 傅里叶变换 f^(ξ)=∫+∞−∞f(x) e−2πixξdx傅里叶变换是最基本的频域变换,这里不再赘述,只是提供一些有意思的图示。 正弦波的叠加(傅里叶级数): 时域、频域、相位: 傅里叶级数与傅里叶变换: 欧拉公式: 欧拉公式所描绘的,是一个随着时间变化,在复平面上做圆周运动的点,随着时间的改变,在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。 正弦波的叠加,也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。 参考: https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358 一道证明题设A、B、C为任意可数有限集合,则 size(A−C)≤size(A−B)+size(B−C)其中 size(X) 表示集合X中的元素个数。 证明: A−C={x|x∈A∩x∉C}={x|x∈A∩(x∈B∪x∉B)∩x∉C}={x|(x∈A∩x∉B∩x∉C)∪(x∈A∩x∈B∩x∉C)}⊆{x|(x∈A∩x∉B)∪(x∈B∩x∉C)}=(A−B)∪(B−C)又因为: size(X∪Y)≤size(X)+size(Y) ,所以 size(A−C)≤size((A−B)∪(B−C))≤size(A−B)+size(B−C) |
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