e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e^{ix} = \cos x + i\sin x eix=cosx+isinx

如果函数 f ( x ) f(x) f(x)的导数满足对任意的 x x x， f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f′(x)=0，且存在 x ′ x' x′使 f ( x ′ ) = C f(x')=C f(x′)=C，则该函数为常数函数 y = C y=C y=C，其中 C C C为常数。

下面根据这个结论证明欧拉公式：

令 f ( θ ) = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e i θ = e − i θ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) f(\theta) = \frac{\cos\theta + i\sin\theta}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} \left(\cos\theta + i \sin\theta\right) f(θ)=eiθcosθ+isinθ​=e−iθ(cosθ+isinθ)

∵ \because ∵ f ′ ( θ ) = e − i θ ( i cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ) − i e − i θ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = 0 f'(\theta) = e^{-i\theta} \left(i\cos\theta - \sin\theta\right) - ie^{-i\theta} \left(\cos\theta + i\sin\theta\right) = 0 f′(θ)=e−iθ(icosθ−sinθ)−ie−iθ(cosθ+isinθ)=0

∴ \therefore ∴ f ( θ ) f(\theta) f(θ)是常数

∵ \because ∵ f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f(0)=1

∴ \therefore ∴ 对任意 θ \theta θ，都有 f ( θ ) = 1 f(\theta)=1 f(θ)=1是常数

∴ \therefore ∴ e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e^{ix} = \cos x + i\sin x eix=cosx+isinx ■

本方法使用麦克劳林级数(Maclaurin Series)进行证明。

关于虚数 i i i的一些事实： i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = − i , i 4 = 1 , i 5 = i , i 6 = − 1 , i 7 = − i ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ \begin{align} i^0 &= 1, & i^1 &= i, & i^2 &= -1, & i^3 &= -i, \\ i^4 &= 1, & i^5 &= i, & i^6 &= -1, & i^7 &= -i \\ &\vdots & &\vdots & &\vdots & &\vdots \end{align} i0i4​=1,=1,⋮​i1i5​=i,=i,⋮​i2i6​=−1,=−1,⋮​i3i7​=−i,=−i⋮​​

s i n ( x ) sin(x) sin(x)和 c o s ( x ) cos(x) cos(x)的麦克劳林展开： s i n ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! − ⋯ sin(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots sin(x)=1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+8!x8​−⋯ c o s ( x ) = i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯   ) cos(x) = i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) cos(x)=i(x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+⋯)

e x e^x ex的麦克劳林展开： e i x = 1 + i x + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 ! + ( i x ) 4 4 ! + ( i x ) 5 5 ! + ( i x ) 6 6 ! + ( i x ) 7 7 ! + ( i x ) 8 8 ! + ⋯ = 1 + i x − x 2 2 ! − i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! − x 6 6 ! − i x 7 7 ! + x 8 8 ! + ⋯ = ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! − ⋯   ) + i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯   ) = cos ⁡ x + i sin ⁡ x \begin{align} e^{ix} &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt] &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt] &= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt] &= \cos x + i\sin x \end{align} eix​=1+ix+2!(ix)2​+3!(ix)3​+4!(ix)4​+5!(ix)5​+6!(ix)6​+7!(ix)7​+8!(ix)8​+⋯=1+ix−2!x2​−3!ix3​+4!x4​+5!ix5​−6!x6​−7!ix7​+8!x8​+⋯=(1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+8!x8​−⋯)+i(x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+⋯)=cosx+isinx​​

所以欧拉公式得证。■

参考：所有复数都可以用极坐标表示 设 r r r和 θ θ θ是对应于非零复数 z = x + i y z=x+iy z=x+iy的点(x,y)的极坐标， 因为 x = r c o s θ x=rcosθ x=rcosθ, y = r s i n θ y=rsinθ y=rsinθ ， z z z可以被写成极坐标的形式： z = r ( c o s θ + i s i n θ ) z=r(cos\theta+isin\theta) z=r(cosθ+isinθ)。 比如 3 + 4 i 3+4i 3+4i的极坐标表示如下（虚数转极坐标网站链接）：

设 e i x = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) \begin{align} e^{ix} = r \left(\cos \theta + i \sin \theta\right) \end{align} eix=r(cosθ+isinθ)​​如果证明(8)式的 r = 1 r=1 r=1，则欧拉公式得证。

对(8)式两边同时求导，可得： i e i x = ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) d r d x + r ( − sin ⁡ θ + i cos ⁡ θ ) d θ d x \begin{align} i e ^{ix} = \left(\cos \theta + i \sin \theta\right) \frac{dr}{dx} + r \left(-\sin \theta + i \cos \theta\right) \frac{d\theta}{dx} \end{align} ieix=(cosθ+isinθ)dxdr​+r(−sinθ+icosθ)dxdθ​​​ 用 r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) r \left(\cos \theta + i \sin \theta\right) r(cosθ+isinθ)代替 e i x e^{ix} eix并化简可得： ( c o s θ d r d x − r s i n θ d θ d x + r s i n θ ) + i ( s i n θ d r d x − r c o s θ d θ d x + r c o s θ ) = 0 \begin{align} (cos\theta {\frac {dr} {dx}}-rsin\theta {\frac {d\theta} {dx}}+rsin\theta)+ i(sin\theta {\frac {dr} {dx}}-rcos\theta {\frac {d\theta} {dx}}+rcos\theta)=0 \end{align} (cosθdxdr​−rsinθdxdθ​+rsinθ)+i(sinθdxdr​−rcosθdxdθ​+rcosθ)=0​​ 因此(10)式的实部和虚部均等于0： c o s θ d r d x − r s i n θ d θ d x + r s i n θ = 0 s i n θ d r d x − r c o s θ d θ d x + r c o s θ = 0 \begin{align} cos\theta {\frac {dr} {dx}}-rsin\theta {\frac {d\theta} {dx}}+rsin\theta=0 \\ sin\theta {\frac {dr} {dx}}-rcos\theta {\frac {d\theta} {dx}}+rcos\theta=0 \end{align} cosθdxdr​−rsinθdxdθ​+rsinθ=0sinθdxdr​−rcosθdxdθ​+rcosθ=0​​

(11),(12)两式可解得 d r d x = 0 {\frac {dr} {dx}}=0 dxdr​=0, d θ d x = 1 {\frac {d\theta} {dx}}=1 dxdθ​=1，因此 r r r是一个常数 C 1 C1 C1， θ \theta θ是 x + C 2 x+C2 x+C2。

因为 e 0 i = 1 e^{0i}=1 e0i=1，虚数的模长为1，可得 r = C 1 = 1 r=C1=1 r=C1=1，进而通过 1 = c o s θ + i s i n θ 1=cos\theta+isin\theta 1=cosθ+isinθ得出 θ ( 0 ) = 0 + C 2 = 0 \theta(0)=0+C2=0 θ(0)=0+C2=0，所以C1=1，C2=0，即 r = 1 r=1 r=1， θ = x \theta=x θ=x，因此： e i x = 1 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = cos ⁡ x + i sin ⁡ x . e^{ix} = 1(\cos x +i \sin x) = \cos x + i \sin x. eix=1(cosx+isinx)=cosx+isinx. 欧拉公式得证。■