公式： e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1 = 0 eiπ+1=0

这个方程真的很奇妙，因为它集合了：

这方程其实源自欧拉公式：

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e^{ix} = \cos x + i \sin x eix=cosx+isinx

以 x = π x = π x=π，我们得到：

e i π = cos ⁡ π + i sin ⁡ π e i π = − 1 + i × 0 （ 因 为 cos ⁡ π = − 1 和 sin ⁡ π = 0 ） e i π = − 1 e i π + 1 = 0 \begin{aligned} &e^{iπ} = \cos π + i \sin π\\ &e^{iπ} = −1 + i × 0 （因为 \cos π = −1 和 \sin π = 0）\\ &e^{iπ} = −1\\ &e^{iπ} + 1 = 0 \end{aligned} ​eiπ=cosπ+isinπeiπ=−1+i×0（因为cosπ=−1和sinπ=0）eiπ=−1eiπ+1=0​

故此， e i π + 1 = 0 e^{iπ} + 1 = 0 eiπ+1=0 只不过是更有用的欧拉公式的一个特例。

我们可以把任何点（例如 3 + 4 i 3 + 4i 3+4i）变成 r e i x re^{ix} reix 的格式（只需找到 x x x 的值和圆形的半径， r r r）

例子： 3 + 4 i 3 + 4i 3+4i

把这复数转换为 r e i x re^{ix} reix 的格式，我们要转换笛卡尔坐标为极坐标：

r = ( 3 2 + 4 2 ) = ( 9 + 16 ) = 25 = 5 r = \sqrt{(3^2 + 4^2)} = \sqrt{(9+16)} = \sqrt{25} = 5 r=(32+42) ​=(9+16) ​=25 ​=5 x = arctan ⁡ ( 4 / 3 ) = 0.927 （ 保 留 三 位 小 数 ） x = \arctan( 4 / 3 ) = 0.927 （保留三位小数） x=arctan(4/3)=0.927（保留三位小数）

所以 3 + 4 i 3 + 4i 3+4i 也可以是 5 e 0.927 i 5e^{0.927 i} 5e0.927i。

未完待续…

From: 欧拉复数公式