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§ 3.4 多维随机变量的特征数 类似于一维随机变量的特征数, 多维随机变量也有特征数, 除了各个分量的期望、 方差、标准差以外, 还有两个随机变量间的关联程度, 即协方差与相关系数, 这是一种反映两个随机变量相依关系的特征数,要特别注意. 3.4.1 多维随机变量函数的数学期望 在第二章中, 在求一维随机变量函数 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X) 的数学期望中, 定理 2.2 .1 发挥了重要的作用. 现在要求多维随机变量函数 Z = g ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) Z=g\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) Z=g(X1,X2,⋯,Xn) 的数学期望 E ( Z ) E(Z) E(Z), 下面的定理 3.4.1 也起着很重要的作用. 利用此定理, 可以省略求随机变量函数 Z = g ( X 1 Z=g\left(X_{1}\right. Z=g(X1, X 2 , ⋯ , X n ) \left.X_{2}, \cdots, X_{n}\right) X2,⋯,Xn) 的分布. 此定理的证明涉及更多的工具, 在此省略了. 为简单起见, 我们用二维随机变量叙述此定理, 而对 n n n 维随机变量结论是类似的. 定理 3.4. 1 若二维随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的分布用联合分布列 P ( X = x i , Y = y j ) P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right) P(X=xi,Y=yj) 或用联合密度函数 p ( x , y ) p(x, y) p(x,y) 表示, 则 Z = g ( X , Y ) Z=g(X, Y) Z=g(X,Y) 的数学期望为 E ( Z ) = { ∑ i ∑ j g ( x i , y j ) P ( X = x i , Y = y j ) , 在离散场合, ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) p ( x , y ) d x d y , 在连续场合. E(Z)=\left\{\begin{array}{ll} \sum_{i} \sum_{j} g\left(x_{i}, y_{j}\right) P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right), & \text { 在离散场合, } \\ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, y) p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, & \text { 在连续场合. } \end{array}\right. E(Z)={
∑i∑jg(xi,yj)P(X=xi,Y=yj),∫−∞∞∫−∞∞g(x,y)p(x,y)dx dy, 在离散场合, 在连续场合. 这里所涉及的数学期望都假设存在. 还要指出, 在连续场合 (离散场合也类似) 有: - 当 g ( X , Y ) = X g(X, Y)=X g(X,Y)=X 时, 可得 X X X 的数学期望为 E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ x p ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ ∞ x p X ( x ) d x . E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-\infty}^{\infty} x p_{X}(x) \mathrm{d} x . E(X)=∫−∞∞∫−∞∞xp(x,y)dx dy=∫−∞∞xpX(x)dx. - 当 g ( X , Y ) = ( X − E ( X ) ) 2 g(X, Y)=(X-E(X))^{2} g(X,Y)=(X−E(X))2 时, 可得 X X X 的方差为 Var ( X ) = E ( X − E ( X ) ) 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ( x − E ( X ) ) 2 p ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ ∞ ( x − E ( X ) ) 2 p X ( x ) d x . \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) & =E(X-E(X))^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^{2} p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^{2} p_{X}(x) \mathrm{d} x . \end{aligned} Var(X)=E(X−E(X))2=∫−∞∞∫−∞∞(x−E(X))2p(x,y)dx dy=∫−∞∞(x−E(X))2pX(x)dx. 类似地可给出 Y Y Y 的数学期望与方差的公式. 例 3.4.1 在长为 a a a 的线段上任取两个点 X X X 与 Y Y Y, 求此两点间的平均长度. 解 因为 X X X 与 Y Y Y 都服从 ( 0 , a ) (0, a) (0,a) 上的均匀分布, 且 X X X 与 Y Y Y 相互独立, 所以 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的联合密度函数为 p ( x , y ) = { 1 a 2 , 0 < x < a , 0 < y < a , 0 , 其他. p(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{a^{2}}, & 0 |