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前言
《Python人工智能：原理、实践及应用》中随机变量分布的学习。 随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：离散型和连续型 离散型离散型随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。 离散型随机变量根据不同的概率分布有伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、超几何分布等。 连续型连续型随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。 连续型随机变量根据不同的概率分布有均匀分布、指数分布、正态分布、伽马分布等。 代码实现 伯努利分布（Bernoulli Distribution)伯努利分布（Bernoulli Distribution）又称两点分布或0-1分布， 其样本空间中只有两个点，一般取为{0，1}，不同的伯努利分布只是取到这两个值的概率不同。 伯努利分布只有一个参数 ，记作 X ～ B e r n o u l l i （ p ） X～Bernoulli（p） X～Bernoulli（p），或 X ～ B （ 1 ， p ） X～B（1， p） X～B（1，p），读作 X X X服从参数为 p p p的伯努利分布 import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def bernoulli_pmf(p=0.0): """ 抛硬币 描述离散型随机变量的概率质量分布函数（Probability Mass Function，PMF） :param p: 硬币正面朝上的概率 :return: """ ber_dist = stats.bernoulli(p) x = [0, 1] x_name = ['0', '1'] pmf = [ber_dist.pmf(x[0]), ber_dist.pmf(x[1])] plt.bar(x, pmf, width=0.15) plt.xticks(x, x_name) plt.ylabel('Probability') plt.title('PMF of bernoulli distribution') plt.show() bernoulli_pmf(p=0.3)
如果把一个伯努利分布独立地重复 n次，就得到了一个二项分布。 二项分布是最重要的离散型概率分布之一。随机变量 要满足这个分布有两个重要条件： ①各次试验的条件是稳定的； ②各次试验之间是相互独立的。 一个随机变量 服从参数为 n n n和 p p p的二项分布，记作 X ～ B i n o m i a l （ n ， p ） X～Binomial（n ， p） X～Binomial（n，p）或 X ～ B （ n ， p ） X～B（ n， p） X～B（n，p）。 利用抛硬币的例子来比较伯努利分布和二项分布的区别。 如果将抛一次硬币看作一次伯努利实验，且将正面朝上记为1，反面朝上记为0。那么抛 n n n次硬币，记录正面朝上的次数 Y Y Y， 就服从二项分布。 假如硬币是均匀的， 取值应该大部分集中在 n / 2 n/2 n/2附近，而非常大或非常小的值都很少。由此可见，二项分布关注的是计数，而伯努利分布关注的是比值（ 正面朝上的计数 / n 正面朝上的计数/ n 正面朝上的计数/n）。 import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def binom_dis(n=1, p=1): """ n=20， p=0.6的二项分布，表示每次试验抛硬币，该硬币正面朝上的概率大于背面朝上的概率，共抛20次并记录正面朝上的次数。 :param n: 次数 :param p: 正面朝上的概率 :return: """ binom_dis = stats.binom(n, p) # ppf 累积分布函数（cdf）的反函数 x = np.arange(binom_dis.ppf(0.0001), binom_dis.ppf(0.9999)) print(x) # [ 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.] fig, ax = plt.subplots(1, 1) ax.plot(x, binom_dis.pmf(x), 'bo', label='binom pmf') ax.vlines(x, 0, binom_dis.pmf(x), colors='b', lw=5, alpha=0.5) ax.legend(loc='best', frameon=False) plt.ylabel('Probability') plt.title('PMF of binomial distribution(n = {}, p = {})'.format(n, p)) plt.show() binom_dis(n=20, p=0.6)
如果某事件以固定强度随机且独立地出现，该事件在单位时间内出现的次数（个数）可以看成是服从泊松分布。 我们把一个随机变量 X X X服从参数为 λ \lambda λ 的泊松分布，记作 X ～ P o i s s o n （ λ ） X～Poisson（ \lambda） X～Poisson（λ），或 X ～ P （ l a m b d a ） X～P（\ lambda） X～P（ lambda）。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布 import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def poisson_pmf(mu=3): poisson_dis = stats.poisson(mu) # print(poisson_dis.ppf(0.001)) # print(poisson_dis.ppf(0.999)) # print(poisson_dis.cdf(0.001)) x = np.arange(poisson_dis.ppf(0.001), poisson_dis.ppf(0.999)) # print(type(x)) # print(poisson_dis.pmf(x)) print(x) # [ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.] fig, ax = plt.subplots(1, 1) # 子图行列数为 1 ax.plot(x, poisson_dis.pmf(x), 'bo', ms=8, label='Poisson pmf') # matplotlib库的axiss模块中的Axes.vlines()函数用于在从ymin到ymax的每个x处绘制垂直线。 ax.vlines(x, 0, poisson_dis.pmf(x), colors='b', lw=5, alpha=0.5) # 图例位置 图例边框 ax.legend(loc='best', frameon=False) plt.ylabel('Probability') plt.title('PMF of poisson distribution(mu = {})'.format(mu)) plt.show() poisson_pmf(mu=8)
均匀分布（Uniform Distribution）是最简单的连续型概率分布，因为其概率密度是一个常数，不随随机变量取值的变化而变化。 如果连续型随机变量 具有如下的概率密度函数，则称 服从 [ a ， b ] [ a， b] [a，b]上的均匀分布，记作 X ～ U （ a ， b ） X～U（ a， b） X～U（a，b）或 X ～ U n i f （ a ， b ） X～Unif（ a， b） X～Unif（a，b）。 f ( x ) = { 1 / ( b − a ) , a < x < b 0 , x < a 或 x > b f(x)=\begin{cases}1 / (b - a), &a< x < b \\ 0 ,& x< a 或 x > b\end{cases} f(x)={1/(b−a),0,a 0 \\ 0, &其他 \end{cases} f(x)={λ∗e−λ∗e,0,x>0其他 就称 X X X为服从参数 lambda 的指数分布（Exponential Distribution），记作 X ～ E （ λ ） X～E（\lambda ） X～E（λ）或 X ～ E x p （ λ ） X～Exp（\lambda ） X～Exp（λ）。指数分布只有一个参数 λ \lambda λ，且 λ ＞ 0 \lambda ＞0 λ＞0。 指数分布的一个显著的特点是其具有无记忆性。 import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def exponential_dis(loc=0, scale=1.0): """ 指数分布， exponential continuous random variable 按照定义，指数分布只有一个参数lambda， 这里的scale = 1 / lambda :param loc: 定义与的左端点，相当于将整体分布沿x轴平移loc :param scale: lambda的倒数，loc + scale表示该分布的均值， scale ^ 2表示该分布的方差 :return: """ exp_dis = stats.expon(loc=loc, scale=scale) x = np.linspace(exp_dis.ppf(0.000001), exp_dis.ppf(0.999999), 100) fig, ax = plt.subplots(1, 1) # 直接传入参数 ax.plot(x, stats.expon.pdf(x, loc=loc, scale=scale), 'r-', lw=5, alpha=0.6, label='exponential pdf') # 从冻结的均匀分布取值 ax.plot(x, exp_dis.pdf(x), 'k-', lw=2, label='frozen pdf') # 计算pdf分别等于0.001、0.5和0.999是的x值 vals = exp_dis.ppf([0.001, 0.5, 0.999]) print(vals) # [2.00100067e-03 1.38629436e+00 1.38155106e+01] # 检测cdf和pdf的精确度 print(np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], exp_dis.cdf(vals))) # True r = exp_dis.rvs(size=10000) ax.hist(r, density=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2) plt.ylabel('Probability') plt.title('PDF of Exp(0.5)') ax.legend(loc='best', frameon=False) plt.show() exponential_dis(loc=0, scale=2)
正态分布（Normal Distribution），也称常态分布，又名高斯分布（Gaussian Distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟形，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称其为钟形曲线。 若随机变量X 服从一个数学期望为 μ μ μ 、方差为 σ 2 σ^2 σ2的正态分布，记为 N （ μ ， σ 2 ） N（ μ， σ^2） N（μ，σ2）。 其概率密度函数为正态分布的期望值 μ μ μ 决定了其位置，其标准差 σ σ σ决定了分布的幅度。 当 μ = 0 ， σ = 1 μ =0， σ=1 μ=0，σ=1时的正态分布是标准正态分布 概率密度函数为 f ( x ) = ( 1 / σ ∗ 2 π ) ∗ e − ( x − μ ) 2 / 2 σ 2 ) f(x) = (1 / σ * \sqrt{2π}) * e^{-(x-μ)^2} / 2σ^2) f(x)=(1/σ∗2π )∗e−(x−μ)2/2σ2) 正态分布中的两个参数含义如下： 当固定 σ σ σ，改变 μ μ μ 的大小时， f （ x ） f（x） f（x）图形的形状不变，只是沿着轴作平移变换，因此 μ μ μ 被称为位置参数（决定对称轴的位置）；当固定 μ μ μ，改变 σ σ σ 的大小时， f （ x ） f（x） f（x）图形的对称轴不变，形状改变， σ σ σ越小，图形尖峰越陡峭。 σ σ σ越大，图形越平坦，因此 σ σ σ被称为尺度参数，决定曲线的分散程度。 import math import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt u = 0 # 均值μ sig = math.sqrt(0.2) # 标准差σ x = np.linspace(u - 3 * sig, u + 3 * sig, 50) y_sig = np.exp(-(x - u) ** 2 / (2 * sig ** 2)) / (math.sqrt(2 * math.pi) * sig) print(x) print('=' * 20) print(y_sig) plt.plot(x, y_sig, 'r-', linewidth=2) plt.grid(True) plt.show()
随机变量的性质主要有两类： 一类是大而全的性质，这类性质可以详细描述述所有可能取值的概率， 例如描述连续型随机变量的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）、概率密度函数（Probability Density Function，PDF）， 描述离散型随机变量的概率质量分布函数（Probability Mass Function，PMF）等；另一类是找 到 该 随 机 变 量 的 一 些 特 征 或 代 表 值 ， 例 如 随 机 变 量的 方 差（Variance）、期望（Expectation）、置信区间等数字特征。以上是我个人在学习过程中的记录所学，希望对正在一起学习的小伙伴有所帮助！！！ 如果对你有帮助，希望你能一键三连【关注、点赞、收藏】！！！ |
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