离散型随机变量 X X X的分布律为 P = { X = x k } = p k ( k = 1 , 2 , ⋯   ) , P=\{X=x_k\}=p_k(k = 1,2,\cdots), P={X=xk​}=pk​(k=1,2,⋯), 如果级数 ∑ k = 1 ∞ x k p k \sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k ∑k=1∞​xk​pk​绝对收敛,称此级数的和为 X X X的数学期望,记 E X = ∑ k = 1 ∞ x k p k . EX=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k. EX=∑k=1∞​xk​pk​.

连续型随机变量 X X X的概率密度为 f ( x ) , f(x), f(x),若广义积分 ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx} ∫−∞+∞​xf(x)dx绝对收敛,称 ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx} ∫−∞+∞​xf(x)dx的值为 X X X的数学期望， 记 E X = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x . EX=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx}. EX=∫−∞+∞​xf(x)dx.

设随机变量 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)是连续函数,当 X X X为离散型随机变量时,其分布律为 P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , ⋯   , P\{ X = x_k\}=p_k,k = 1,2,\cdots, P{X=xk​}=pk​,k=1,2,⋯,则 E ( Y ) = E ( g ( X ) ) = ∑ k = 1 ∞ g ( x k ) p k . E(Y)=E(g(X))=\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k. E(Y)=E(g(X))=k=1∑∞​g(xk​)pk​. 当 X X X为连续型随机变量时,其密度函数为 f ( x ) , f(x), f(x),则 E ( Y ) = E ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x . E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}{g(x)f(x)dx}. E(Y)=E(g(X))=∫−∞+∞​g(x)f(x)dx.

设随机变量 Z = g ( x , y ) Z=g(x,y) Z=g(x,y)是连续函数,当离散型二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律为 P = { X = x i , Y = y j } = p i j P=\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij} P={X=xi​,Y=yj​}=pij​时, E Z = ∑ i ∑ j g ( x i , y j ) p i j ; EZ=\sum_{i}\sum_{j}g(x_i,y_j)p_{ij}; EZ=i∑​j∑​g(xi​,yj​)pij​;

当连续型二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)时, E ( Y ) = E ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y . E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}. E(Y)=E(g(X))=∫−∞+∞​∫−∞+∞​g(x,y)f(x,y)dxdy.

数学期望是反映平均取值的一个指标.

设 X X X是一个随机变量,若 E { [ X — E ( X ) ] 2 } E\{[X —E( X )]^2 \} E{[X—E(X)]2}存在,则称 E { [ X — E ( X ) ] 2 } E\{[X —E( X )]^2 \} E{[X—E(X)]2}为 X X X的方差,记为$D( X) 或 或 或Var(X), 即 即 即D(X) = Var( X) = E{[X-E(X)]^2}.$

在应用上还引人量 D ( X ) \sqrt{D(X)} D(X) ​,记为 σ ( X ) \sigma(X) σ(X),称为标准差或均方差.

D X = E ( X 2 ) − ( E X ) 2 D X = E( X^ 2 ) - ( E X )^2 DX=E(X2)−(EX)2

设 C C C为常数，则 D ( C ) = 0. D(C) = 0. D(C)=0.

设 X 为随机变量， C 为常数， 则有 D ( C X ) = C 2 D ( X ) . D( C X ) = C^2 D( X ). D(CX)=C2D(X).

设随机变量 X 与 Y 相互独立， 则有 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ; D( X\pm Y)=D(X)+ D(Y); D(X±Y)=D(X)+D(Y);

D ( X ) = 0 D(X) = 0 D(X)=0的充要条件是X依概率1取常数EX， 即 P { X = E X } = 1. P\{ X = E X\} = 1. P{X=EX}=1.

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ &P\{X=1\}=p,P\…

E ( X ) = n p , D ( X ) = n p ( 1 — p ) . E(X)=np,D(X)=np(1—p). E(X)=np,D(X)=np(1—p).

E ( X ) = λ , D ( X ) = λ . E( X ) =\lambda,D( X)=\lambda. E(X)=λ,D(X)=λ.

E ( X ) = 1 2 ( a + b ) , D ( X ) = ( b − a ) 2 12 . E(X)={1\over2}(a+b),D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}. E(X)=21​(a+b),D(X)=12(b−a)2​.

E ( X ) = 1 λ , D ( X ) = 1 λ 2 E(X)={1\over \lambda},D(X)={1\over \lambda^2} E(X)=λ1​,D(X)=λ21​

E ( X ) = 1 p , D ( X ) = 1 − p p 2 E(X)={1\over p},D(X)={1-p\over p^2} E(X)=p1​,D(X)=p21−p​

E ( X ) = μ , D ( X ) = σ 2 E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2 E(X)=μ,D(X)=σ2

特例:标准正态分布 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1) E ( X ) = 0 ， D ( X ) = 1. E( X ) = 0， D(X) = 1. E(X)=0，D(X)=1.

对于二维随机变量 ( X , Y ) , C o v ( X , Y ) = E [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] (X,Y),Cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)] (X,Y),Cov(X,Y)=E[X−E(X)][Y−E(Y)]是其协方差,或用 C o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E X E Y Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY Cov(X,Y)=E(XY)−EXEY表示.

其中 E X Y = { ∑ i ∑ j g ( x i , y j ) P { X = x i , Y = y j } ( 离 散 型 ) ; ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y ( 连 续 型 ) . EXY= \begin{cases} \sum_{i}\sum_{j}g(x_i,y_j)P\{X=x_i,Y=y_j\}(离散型);\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{xyf(x,y)dxdy}(连续型). \end{cases} EXY={∑i​∑j​g(xi​,yj​)P{X=xi​,Y=yj​}(离散型);∫−∞+∞​∫−∞+∞​xyf(x,y)dxdy(连续型).​

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ &(1) Cov(X,X) …

ρ X Y = C o v ( X . Y ) D ( X ) D ( Y ) ( D ( X ) > 0 , D ( Y ) > 0 ) . \rho_{XY}={Cov( X.Y)\over\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}(D(X)>0,D(Y)>0). ρXY​=D(X) ​D(Y) ​Cov(X.Y)​(D(X)>0,D(Y)>0).

ρ X Y = 0 \rho_{XY}= 0 ρXY​=0时,X与Y是不相关的. 相关系数反映了两个随机变量的线性相关程度， 当其绝对值越接近 1 时 , X ,X ,X与 Y Y Y的线性相关程度就越强,反之,越接近0时 , X ,X ,X与 Y Y Y线性相关程度就越弱

(1) 0 ≤ ρ X Y ≤ 1 0\leq\rho_{XY}\leq 1 0≤ρXY​≤1 (2) ∣ ρ X Y ∣ = 1 \mid\rho_{XY}\mid=1 ∣ρXY​∣=1的充分必要条件是存在不全为零的常数α和b，使得 P ( Y = a x + b ) = 1. P(Y=ax+b)=1. P(Y=ax+b)=1.

(1) 若随机变量X与Y 独立， 则X与Y—定不相关;但是若 X 与 Y 不相关， 则 X 与 Y 可能独立， 也可能不独立. (2 ) 若随机变量 X 与 Y 的联合分布是二维正态分布， 则 X 与 Y 独立的充分必要条件是 X 与 Y 不相关.

称 E ( X k ) E(X^k) E(Xk)为 X X X的 k k k阶原点矩.

称 E { [ X − E ( X ) ] k } E\{[X-E(X)]^k\} E{[X−E(X)]k}为 X , Y X,Y X,Y的 k k k阶中心矩

称 E ( X k Y l ) E(X^kY^l) E(XkYl)为 X , Y X,Y X,Y的 ( k + l ) (k+l) (k+l)阶混合原点矩

称 E { [ X − E ( X ) ] k [ Y − E ( Y ) ] l } E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\} E{[X−E(X)]k[Y−E(Y)]l}为 X , Y X,Y X,Y的 ( k + l ) (k+l) (k+l)阶混合中心矩

数学期望E是X的一阶原点矩,方差DX是X的二阶中心矩,协方差 Cov(X,Y) 是 X 与 Y的混合二阶中心矩.

( X . Y ) 的 协 方 差 矩 阵 = Δ ( c 11 c 12 c 21 c 22 ) (X.Y)的协方差矩阵\frac{=}{^{\Delta}} \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21}& c_{22}\\ \end{pmatrix} (X.Y)的协方差矩阵Δ=​(c11​c21​​c12​c22​​)

其中 C 11 = E [ ( X − E X ) 2 ] , C 12 = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] , C 21 = E [ ( Y − E Y ) ( X − E X ) ] , C 22 = E [ ( Y − E Y ) 2 ] . C_{11}=E[(X- EX)^2],\\ C_{12}= E[(X-EX)(Y-EY)],\\ C_{21}= E[(Y-EY)(X-EX)],\\ C_{22}= E[(Y-EY)^2]. C11​=E[(X−EX)2],C12​=E[(X−EX)(Y−EY)],C21​=E[(Y−EY)(X−EX)],C22​=E[(Y−EY)2].

(1) n n n维正态随机变量 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​)的每个分量 X i , i = 1 , 2 , ⋯   , n X_i,i=1,2,\cdots,n Xi​,i=1,2,⋯,n都是正态随机变量； 反之，若 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​都是正态随机变量， 且相互独立， 则 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​)是 n n n维正态随机变量.

(2) n n n维正态随机变量 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​)服从 n n n维正态分布的充要条件 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​的任意线性组合 l 1 X 1 + l 2 X 2 + ⋯ + l n X n l_1X_1+l_2X_2+\cdots+l_nX_n l1​X1​+l2​X2​+⋯+ln​Xn​服从1维正态分布(其中 l 1 , l 2 , ⋯   , l n l_1,l_2,\cdots,l_n l1​,l2​,⋯,ln​不全为零)

(3) 若 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​)服从 n n n维正态分布,设 Y 1 , Y 2 , ⋯   , Y n Y_1,Y_2,\cdots,Y_n Y1​,Y2​,⋯,Yn​是 X j ( j = 1 , 2 , ⋯   , n ) X_j(j=1,2,\cdots,n) Xj​(j=1,2,⋯,n)的线性函数，则 ( Y 1 , Y 2 , ⋯   , Y n ) (Y_1,Y_2,\cdots,Y_n) (Y1​,Y2​,⋯,Yn​)也服从多维正态分布.这一性质称为正态变量的线性变换不变性.

(4)设 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​)服从 n n n维正态分布,则" X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​相互独立"与" X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​两两不相关"是等价的.