@(概率论)

Z = g ( X , Y ) Z = g(X,Y) Z=g(X,Y)

总结过一次，一般方法是可以由分布函数再求导得到概率密度，计算一定更要小心才能得到正确的解。

F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( g ( X , Y ) ≤ z ) = ∫ ∫ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(g(X,Y)\leq z) \\ = \int\int_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(x,y)≤zf(x,y)dxdy

特别当 Z = X − Y Z = X-Y Z=X−Y时，推导：

F Z ( z ) = P ( X + Y ≤ z ) = ∫ ∫ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z − x f ( x , y ) d y 或 者 = ∫ − ∞ + ∞ d y ∫ − ∞ z − y f ( x , y ) d y F_Z(z) = P(X+Y \leq z) = \int\int_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy \\ 或者 = \int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_{-\infty}^{z-y}f(x,y)dy FZ(z)=P(X+Y≤z)=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫−∞+∞dx∫−∞z−xf(x,y)dy或者=∫−∞+∞dy∫−∞z−yf(x,y)dy

从而求得概率密度是： f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx \\ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dxfZ(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy

更特别的是，如果X,Y相互独立，则: f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx \\ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dxfZ(z)=∫−∞+∞fX(z−y)fY(y)dy

可以看出来一点规律，如果是用x作积分变元，则就从表达式中解出对方，如y = z-x。

这个具有一般性，即如果Z = X-Y，则对x积分时，y替换为y = x-z即可。

看一道例子，运用这种方法很快，但是一定要小心求得正确解，否则毫无意义。

设随机变量(X,Y)的概率密度是： f ( x , y ) = { 3 x , 0 < x < 1 , 0 < y < x , 0 , 其 他 f(x,y) = {3x,0