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(共51张PPT)3.2.1双曲线及其标准方程第 3 章圆锥曲线的方程双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么 下面我们探究一下这个问题.问题1.在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状 当点M靠近定点F1时|MF2|- |MF1|=|AB|总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近定点F2时|MF1|- |MF2|= |AB|平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)，则双曲线定义还可以描述为若||MF1|-|MF2||=2a则点M 的轨迹是双曲线.F1F2M追问1.定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.F1F2M① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线追问2.定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0F1F2MF1F2MF1F2MF1F2MxyO观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2,是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2,的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢 设M(x, y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1, F2的坐标分别是(-c,0),(c, 0)。由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢 F1F2MyOx|MF1|-|MF2||=2a, 0F1F2MxyO问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢 由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，我们称方程②为双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1 (-c，0)，F2 (c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.问题3.类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c), a, b的意义同上，这时双曲线的方程是这个方程表示焦点在y轴上的双曲线的标准方程.xyOM(x,y)F1F2焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.焦点在y轴的双曲线y2项系数为正.标准方程相 同 点焦点位置的判断不 同 点图 形焦点坐标定 义a、b、c 的关系c2-a2=b2平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2复习导入椭圆 双曲线定 义方 程 焦点在x轴上焦点在y轴上焦 点a, b, c 的关系F1(－c, 0), F2(c, 0)a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a (a|MF1|+|MF2|=2a (a>c)F1(0, －c), F2(0, c)F1(－c, 0), F2(c, 0)F1(0, －c), F2(0, c)02 双曲线焦点三角形PART ONE焦点三角形焦点三角形例1.设双曲线＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上. 若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．解：　由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得＋－2r1r2＝16.∵∠F1PF2＝90°，∴＋＝4c2＝4×()2＝52.∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝r1r2＝9.焦点三角形类题通法双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有(1)定义：|r1－r2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝＋－2r1r2cos θ.(3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．焦点三角形焦点三角形练习2.已知双曲线 (a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为(　　)A.4a B.4a-mC.4a+2m D.4a-2m解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.C焦点三角形03 求轨迹方程PART ONE轨迹方程轨迹方程轨迹方程[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－|PF2||＝2a0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0轨迹方程例3. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF= ,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.轨迹方程解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.轨迹方程轨迹方程【思路分析】　建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程．轨迹方程04 求最值PART ONE求最值C求最值求最值求最值温故知新说 明：双曲线定义M点的轨迹是什么？M点的轨迹是焦点F1 所对应的一支；（1）（2）焦点F2 所对应的一支思考2:为什么定义中的距离之差要加绝对值？不加会得到什么？探究一——焦点三角形问题拓展探究常用技巧结论牢记同学们试一下吧，发挥焦点三角形的魅力吧！！例2、由双曲线 上的一点P与左、右两焦点构成 ，求 的内切圆与边 的切点坐标。深度学习|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a． ①又|NF1|＋|NF2|＝2c． ②∴|ON|＝|NF1|－|OF1|＝ a＋c－c＝a＝3．故切点N的坐标为（3，0）．根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为（－3，0）．【解】由双曲线方程知a＝3，b＝2，如下图，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a． 根据从圆外一点引圆的两条切线长相等可得由①②得另解：|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a由定义，N在以F1，F2为焦点的双曲线C上，又在直线F1F2上，从而确定N的位置你发现了什么结论？能证明吗？深度学习结论:若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点．例3：双曲线C：-=1, 点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线C在第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF的周长的最小值为 (　　)A. 8 B. 10 C. 4+3D. 3+3解：双曲线的方程为-=1.一个焦点为F(0,-),设双曲线的上焦点为F',则|PF|=|PF'|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3,当P点在第一象限时,|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3,故△PAF的周长的最小值为10.故选B解: 在△ABC中,|BC|=10，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支又因c=5，a=3，则b=4则顶点A的轨迹方程为备选例题备选例题解析:F1(-5,0),N(5,0)分别是双曲线的左右焦点,PF1与圆F1有两个交点,距离P较远的那个点满足|PM|-|PN|最大,此时|PM|-|PN|=|PF1|-|PN|+2.=2a+2=2×3+2=8,故选D.3.本节所用到的数学思想有：数形结合思想 分类讨论思想小结反思、升华素养

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