23/10/19：增加了积分中值定理及积分第一中值定理的证明。 23/10/23：增加了矩阵转置、伴随矩阵及向量的秩相关的证明。 23/11/01：增加了定积分周期性质的证明。 23/11/13：增加了保号性的证明。 23/11/13：增加了秩为 1 方阵的性质的证明。

前阵子整理往年真题的时候，发现有一个证明题让我证明拉格朗日中值定理。要不是我才学完微分，我还真有些下不了笔，只记得可以用罗尔中值定理证明。写微分部分的文章时，由于内容太多，我就没有加上去。于是我打算对这些平常咱们都用的到的定理和结论，都去证明一篇，巩固基础，也减少对证明题的恐惧。

我就按照去年的数一大纲，把里面提到的定理以及我认为重要的定理、结论，都放在本文中进行汇总。有可能会内容好多，后续随着复习进度的进行，也会补充内容进来。

设 lim ⁡ x → a f ( x ) = A > 0 \lim_{x\to a}f(x)=A>0 limx→a​f(x)=A>0 ，则 ∃ δ > 0 , w h e n   0 < ∣ x − a ∣ < δ , w e   h a v e   f ( x ) > 0. \exist \delta>0,when\space 00,when 0 0 , ∃ δ > 0 , w h e n   0 < ∣ x − a ∣ < δ , w e   h a v e   f ( x ) − A > − ϵ \forall \epsilon>0,\exist \delta>0,when\space 00,∃δ>0,when 0 A − ϵ f(x)>A-\epsilon f(x)>A−ϵ ，取 ϵ = A / 2 \epsilon=A/2 ϵ=A/2 ，于是 f ( x ) > A / 2 > 0 f(x)>A/2>0 f(x)>A/2>0 ，证毕。

为什么要取 A / 2 A/2 A/2 ，我如果取得大一点不就小于 0 了吗？是，取了大于 A 就小于 0 ，可是这有什么影响呢，我们关键是要证明存在这样 δ \delta δ 。 另外注意函数是邻域内保号，也就是局部保号，而数列极限是全局保号。

若 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续，在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上可导，且有 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b) ，则存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in (a,b) ξ∈(a,b) ，使得 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0 。

证明： 由函数 f ( x ) f(x) f(x) 在闭区间上连续，可知， f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上存在最小值 m m m 和最大值 M M M 。

C a s e 1 : m = M : Case 1:m=M: Case1:m=M: 显然，此时函数 f ( x ) ≡ M f(x) \equiv M f(x)≡M ，即恒为一个常数，任取 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in (a,b) ξ∈(a,b)，均有 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0 。

C a s e 2 : m < M : Case 2:m