本书以数学方法论为基础，注重数学方法对解题的理论指导；以具体问题的解决为抓手，突出数学方法的引领作用；以解决问题的策略取向为线索，层层深入，旨在打开一扇通往成功解题的大门. 全书共九章，第一、二章提出数学解题首先要多途径观察，然后考虑化归；第三章介绍类比法，以探寻熟悉的解题模式或方法；第四章基于解题直觉探索解题思路的获取；第五、六章阐明构造是实现数学问题解决的一个捷径，建模是构造法解题的升级；第七章另辟蹊径，研究审美法对解题的意义；第八章探讨解决较复杂问题需要运用的变通策略与途径；第九章指明反思是数学解题不可或缺的一个环节，解题任务完成后要剖析错误、总结方法、比较鉴别及拓展延伸. 本书可供高等师范院校教育硕士学科教学（数学）方向专业学位研究生、全日制数学与应用数学专业本科生和小学教育（理科）专业本科生作为数学解题研究课程教材使用，也适用于中小学数学教师、教研员及初等数学爱好者阅读.

美籍匈牙利数学教育家乔治·波利亚曾经说过：“掌握数学意味着善于解题.”而能够做到善于解题，非一朝一夕所能达到，它需要长期的解题训练，这一训练需要厚实的数学知识作保证，更需要融合科学的方法去引领．许多人的解题能力不强，缺的不是知识，缺的是方法与策略，是能够灵活运用的数学方法和驾轻就熟的解题策略．相比方法而言，策略更宏观，本质上来说，策略就是若干方法集合在一起的行动方案．因此，从方法论的角度去探索数学解题的奥妙具有十分重要的现实意义和指导价值． 所谓解题，本质上来说就是把数学的一般原理运用于习题的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出习题解答为止的过程．这一过程蕴藏着比较复杂的思维活动，虽然有时比较艰辛，甚至有时苦思冥想也难得其法，然而不可否认，解题还是有一定规律可循的． 多年来，国内外许多专家、学者在解题研究上颇有建树．乔治·波利亚的名著《怎样解题》《数学与猜想》《数学的发现》，以及他的程序化的解题系统、启发式的过程分析、开放型的念头、诱发探索性的问题转换等观点，在国内外数学教育界广为传播. 美国心理学家奥苏伯尔等人提出了四阶段解题模式，即呈现问题情境、明确问题的目标和已知条件、填补空隙（解题的核心）、检验，这一模式不仅描述了解题的一般过程，而且指出了原有认知结构中各种成分在问题解决过程中的不同作用，为培养解题能力指明了方向. 苏联数学教育家A.M.弗里德曼、A.B.瓦西列夫斯基，美国数学教育家W.A.威克尔格伦、L.C.拉松等也在解题研究上发表了一系列论文,出版了相关专著，提出了他们在解题研究上的理论，都很有创意． 国内致力于解题研究的学者比较多，这与我国基础教育，特别是中小学数学教育的大环境有着密切的关联．多年来，我国基础教育阶段数学教学成就不凡，为国际数学教育界同人广泛关注．在解题研究领域比较出色的有南京师范大学单墫教授、陕西师范大学罗增儒教授、浙江教育学院戴再平教授等，他们的著作各有侧重．相比国外学者，国内学者运用数学方法论讨论数学解题的研究比较多，这应当与大连理工大学徐利治教授的贡献有关.在数学方法论上的理论建构奠定了徐教授在国内数学与数学教育界享有特定的地位．走在解题研究前沿的还有南京师范大学喻平教授及其研究团队，他们结合心理学研究成果建构了解题认知模式与解题教学理论．所有这些研究反映出数学解题研究持续成为国内外数学教育界的研究热点，并一直向前不断延伸． 本书是站在巨人肩上的学习体会之作，系编著者多年执教高师数学与应用数学（师范类）专业“数学解题研究”和“数学方法论”课程的教学实践总结之作．从开始的理论借鉴、典型例题收集整理、归类提取到后期的结构化、系统化凝练，多年来编著者从未间断过在数学解题研究上的理论与实践探索．本书虽未达尽善尽美，但却是真正的心血之作．本书的理论与实践观点主要体现在以下三个方面. （1） 学会思考：从数学方法论的视角认识解题. 解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫作“解”，所以，数学解题就是找出数学问题解的活动过程．小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲清定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一项数学理论应用于实际构建出适当的模型等,都叫解题．数学家的解题是一个创造和发现的过程，教学中的解题更多的是一个再创造或再发现的过程．本书所说的解题专指教学中的解题，本书所指向的解题研究就是通过典型数学问题的分析讲解，引领解题者学会数学家的“数学的思维”，学会从数学方法论的视角认识、理解和掌握解题规律，发展解题思维，提高解题能力． （2） 揭示规律：确立数学解题研究的目标指向. 正如书名所说，本书是从数学方法论的视角研究数学解题．本书没有选用繁难的或是蕴藏特别技巧的竞赛题，而是选用基本的常见的数学问题，主要是高考题，也有部分中考题作为分析例题．本书的重点不在于系统的理论建构，而在于从数学方法论的视角把握数学解题规律，多维度引领解题方向，促进解题者的思维发展及分析、解决问题能力的提高．每一章节介绍的数学方法都能直奔“靶心”，揭示数学解题的内在规律，努力把着力点放在问题的剖析与方法的探究上，放在有效地运用数学方法有目的、有计划地攻克问题、突破难点上． （3） 择法引领：科学地设计数学解题研究思路. 本书以数学方法论作为基础，注重数学方法对数学解题的理论指导；以具体问题的解决为抓手，突出数学方法的引领作用．在具体框架结构上，以解决问题的策略取向为线索展开论述． 具体地说，面对一个问题，首先要多途径观察，然后考虑化归，把待求解问题转化为已解决的或较容易解决的问题；感觉不甚明了的问题可以考虑运用类比法，探寻熟悉的解题模式或方法以降低问题难度；解题中的直觉因素是必须关注的，它可能会在难题求解过程中发挥重要作用；构造是实现数学问题解决的一个捷径，但不是每一个问题的解决都需要构造；建模是对构造法解题的升级，建模法解题涵盖的内容更为丰富，解决问题的面更为宽广；审美法对于解题来说，是另辟蹊径，是寻找解题方法的一个重要补充；对于费时费力的疑难问题，要想办法进行多途径变通；最后是解题反思，提出反思是数学解题中不可或缺的环节，解题任务完成后要分析解题过程、剖析错误、总结方法、比较鉴别及拓展延伸等，促进思维发展，提高解题能力．因此，基于数学方法论的视角，拟定数学解题的策略路线图如下页图所示. 数学解题的策略路线图 需要强调的是，这些解题策略与方法彼此间不是孤立的.观察伴随在解题过程中，化归也一直主导着解题全过程.类比可促成化归，常常源于观察而发生，因直觉而显现.构造是一种高级思维模式，需要综合运用类比或化归.建模类似于构造，同样依赖于对问题的观察与审美，依赖于化归思想，依赖于类比、直觉等方法.审美的产生，看似直觉，实质上与细致入微的观察有着紧密的关联，审美意识经常促成类比、构造、建模等解题方法的形成，也为解题化归的实现奠定基础.变通的前提是对问题有比较深刻的观察与理解，它是融直觉、审美、类比等思想方法于一体的结果，反过来又指向合适的类比、创造性的构造与建模以及巧妙的化归.而解决问题不是最终的目的，对解题策略以及解题过程的深入反思，能够指导我们进一步学会观察，更深刻地理解和掌握化归、类比、构造、变通等解题策略与方法，更有效地发展数学思维，提高解题能力． 本书共分九章，内容分别如下. 第一章观察：解题的起点，主要从观察的一般方法、数与式的观察、图形的观察、条件与结论的观察及问题结构的观察入手，阐述数学解题观察的重要意义及观察法解题的基本路径． 第二章化归：解题的方向，通过对化归法解题模式的具体论述，结合实例，着重讨论特殊化、一般化、分解与组合、映射与反演等化归策略在数学解题中的具体应用． 第三章类比：解题的抓手，从类比的意义和分类入手，详细介绍问题解决过程中的题型结构类比、方法技巧类比、空间与平面类比、抽象与具体类比及跨学科类比等． 第四章直觉：解题的精灵，从直觉解题的心理机制，解题直觉的呈现、捕获及运用等方面，具体讨论直觉在解题中的作用． 第五章构造：解题的突破，从揭示构造法的本质特征入手，深入研剖挖掘问题背景、借用数形结合、透析结构相似及运用等效转换等途径进行构造的具体策略． 第六章建模：解题的支架，基于数学建模的基本内涵，具体阐述从实际问题中抽象出数学模型的基本方法，并就初等数学解题常见、常用数学模型的类型及其多维建构作了较详细的解析． 第七章审美：解题的意愿，从数学解题中的审美意蕴出发，介绍对称美、简洁美、和谐美、奇异美及数学文化等在数学解题中的具体应用． 第八章变通：解题的调适，结合具体问题，概述数学解题中的变通思维方法及追本溯源、变换主元、有效增设、正难则反四个变通策略． 第九章反思：解题的延伸，着重阐明解题后有待反思的基本路径，主要包括寻求问题的多种解法、解题错误的类型与归因、“形”与“质”的比较与分析及问题的拓展与延伸等． 本书各章末均配有习题，读者可扫描二维码查阅习题答案. 本书系“十三五”江苏省高等学校重点教材，江苏高校品牌专业建设工程资助项目（编号：PPZY2015C211）成果之一.在本书写作过程中，参阅了许多文献资料，并得到了众多数学教育界前辈、同人以及我的学生们的关心和帮助，得到了盐城师范学院领导的大力支持，在此一并表示感谢！ 由于编著者的水平与能力有限，不足之处在所难免，恳请广大读者批评、指正． 2018年9月于江苏盐城

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