内积 ⟨⋅,⋅⟩:X2→K,(x,y)↦⟨x,y⟩，若

内积空间 序对 (X,⟨⋅,⋅⟩) 为内积空间，其中 X 为线性空间，⟨⋅,⋅⟩ 为内积

诱导范数 ∥x∥=⟨x,x⟩21​

Hilbert 空间 X 为 Hilbert 空间，若诱导范数使之成为 Banach 空间

平行四边形恒等式 ∥x+y∥2+∥x−y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2

极化恒等式

正交 x⊥y⟺⟨x,y⟩=0

正交补 M⊥={x∈X:∀y∈M,⟨x,y⟩=0}

凸集 M⊂X 为凸集，若 ∀x,y∈M,∀α∈[0,1],αx+(1−α)y∈M

设 X 为内积空间，M 为非空凸集，且 X 在 M 上诱导度量使之成为完备空间，则任给 x0​∈X,∃!y0​∈M,ρ(x0​,M)=∥x0​−y0​∥

直和 X=M⊕N⟺X=span(M∪N) 且 M∩N={0},∀x∈X,∃!m∈M,n∈N,x=m+n

正交分解定理 设 H 为 Hilbert 空间，M 为 H 的闭线性子空间，则 H=M⊕M⊥

正交投影 PM​:H→M，x↦y，∥x−y∥=ρ(x,M)

设 H 为 Hilbert 空间，M 为 H 的闭子空间，则

设 H 为 Hilbert 空间，M 为 H 的闭子空间，则 (M⊥)⊥=M

设 X 为内积空间，M 为 X 的非空子集，则 (span(M))⊥=M⊥=(M)⊥

完全集 M⊂X 为完全集，若 span(M) 在赋范空间 X 中稠密

设 H 为 Hilbert 空间，M 为非空子集，则 M 为完全集 ⟺M⊥={0}

标准正交集 M⊂X 为标准正交集，若 M 线性无关且 ∀x,y∈M,⟨x,y⟩=0,∥x∥=∥y∥=1

标准正交序列 若标准正交集为可数集，则称之为标准正交序列

标准正交组 若标准正交集为有限集，则称之为标准正交组

Bessel 不等式 i=1∑∞​∣⟨x,ei​⟩∣2≤∥x∥2

标准正交基 M 为标准正交基，若 M 为内积空间 H 的标准正交集且 span(M)​=H

设 M 为内积空间 H 的标准正交集，则下述命题相互等价

Gram-Schmidt 标准正交化方法 设 {x1​,x2​,⋯} 为内积空间 X 的一列线性无关元素，则存在 {e1​,22​,⋯} 为标准正交序列，使得任给 n≥1，有 span(x1​,x2​,⋯,xn​)=span(e1​,e2​,⋯,en​)

Riesz 表示定理 若 H 为 Hilbert 空间，则任取 f∈H′，∃!y∈H,∀x∈H,f(x)=⟨x,y⟩

共轭双线性泛函 h:X×Y→K，若

共轭双线性泛函的范数 ∥h∥=x=0,y=0sup​∥x∥∥y∥∣h(x,y)∣​

Riesz 定理 设 H1​,H2​ 为 Hilbert 空间，h:H1​×H2​→K 为有界共轭双线性泛函，则存在唯一的 T∈B(H1​,H2​)，使得 ∀x∈H1​,y∈H2​,h(x,y)=⟨T(x),y⟩，此时 ∥T∥=∥h∥

伴随算子 T∗:H2​→H1​，y↦x，∀x∈H1​,y∈H2​,⟨T(x),y⟩=⟨x,T∗(y)⟩

伴随算子的性质 设 H1​,H2​ 为 Hilbert 空间，S，T∈B(H1​,H2​)，α∈K，则