这几日做到一道和依分布和概率收敛的例题，感觉对加深理解很有帮助，因此也记录在博客上面。

定义 X 1 , ⋯   , X n X_1, \cdots, X_n X1​,⋯,Xn​为随机变量序列， X X X是另一个随机变量， F n F_n Fn​表示 X n X_n Xn​的CDF， F F F表示CDF。

∀ ϵ > 0 , n → ∞ , \forall \epsilon>0,n \rightarrow \infin, ∀ϵ>0,n→∞,有 P ( ∣ X n − X ∣ > ϵ ) → 0 , \mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon) \rightarrow0, P(∣Xn​−X∣>ϵ)→0,则称 X n X_n Xn​依概率收敛于 X X X。

若对 F F F任意连续的点 t t t，有 lim ⁡ n → ∞ F n ( t ) = F ( t ) \lim_{n\rightarrow \infty}F_n(t)=F(t) n→∞lim​Fn​(t)=F(t) 则称 X n X_n Xn​依分布收敛于 X X X.

设 X n ∼ N ( 0 , 1 n ) X_n \sim N(0, \frac{1}{n}) Xn​∼N(0,n1​)； X X X为随机变量，分布为 F ( x ) = 0 , i f X < 0 ; F ( x ) = 1 , i f X ≥ 0 F(x)=0,if X ϵ ) + P ( X n − X < − ϵ ) = P ( X n > 0 + ϵ ) + P ( X n < − ϵ ) ≤ P ( X n > ϵ ) + P ( X n ≤ − ϵ ) ≤ 1 − F n ( ϵ ) + F n ( − ϵ ) → 1 − F ( ϵ ) + F ( − ϵ ) ≤ 1 − 1 + 0 = 0 \begin{aligned} P(|X_n-X| > \epsilon) &= P(X_n-X> \epsilon) + P(X_n-X< -\epsilon)\\ &=P(X_n > 0+\epsilon) + P(X_n < -\epsilon) \\ &\le P(X_n>\epsilon) + P(X_n \le -\epsilon)\\ &\le 1-F_n(\epsilon)+F_n(-\epsilon)\\ &\rightarrow 1-F(\epsilon)+F(-\epsilon)\\ &\le 1-1+0=0 \end{aligned} P(∣Xn​−X∣>ϵ)​=P(Xn​−X>ϵ)+P(Xn​−X0+ϵ)+P(Xn​ϵ)+P(Xn​≤−ϵ)≤1−Fn​(ϵ)+Fn​(−ϵ)→1−F(ϵ)+F(−ϵ)≤1−1+0=0​因此同样依概率收敛。其中，倒数第二个箭头是因为已经知道依分布收敛。