概率论四大收敛与三个大数定律 |
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Part1.概率论四大收敛与三个大数定律 四大收敛: 1.依 令 若 则称 2.依分布收敛(Convergence in Distribution) 令随机变量序列 若对于每个连续点 则称 3.依概率收敛(Convergence in Probability) 令随机变量序列 若 则称 4.几乎处处收敛(Almost Sure Convergence) 令随机变量序列 若 则称 三个大数定律(仅列出简化版本): 1.弱大数定律(Weak Law of Large Numbers,WLLN) 令独立同分布(i.i.d)随机变量序列 定义 即 2.强大数定律(Strong Law of Large Numbers,SLLN) 令独立同分布(i.i.d)随机变量序列 定义 则 3.中心极限定理(Central Limit Theorem,CLT) 令独立同分布(i.i.d)随机变量序列 定义 则 引理1.相互推导关系 1.1 1.2 1.3 引理2.两个不等式 2.1马尔可夫不等式 设 2.2波恩斯坦不等式 令独立同分布(i.i.d)随机变量序列 则对 引理3.连续性质 3.1若 3.2若 3.3若 引理4.等价性质 4.1渐进等价性(Asymptotic Equivalence) 4.2Slutsky 假设 1) 2) 集合、概率、随机变量(三元集): 事件:全空间 事件集:由 随机变量:Borel可测映射 随机变量取值的概率: 对应几乎处处连续的分布函数CDF: 事件就是集合,随机变量的取值对应着某个事件,随机变量取值的概率对应着集合的测度 不可能事件、零概率事件、或然事件、全概率事件、必然事件 集合的上下极限: 德·摩根律: 博雷尔·康特立引理: (1)若 (2)若 噶依克·瑞尼不等式: 柯尔莫哥洛夫不等式: Declare: 凡是四大收敛的定义法证明,几乎都可以归结为集合的交并补运算 Part3.概率论中特征函数的重要性数学期望与高阶矩的本质:积分 矩母函数的定义: 设 矩母函数与高阶矩的关系: 特征函数的定义: 设 特征函数与高阶矩的关系: 特征函数与分布函数的关系:一一对应 1.逆转公式 分布函数 2.唯一性定理 分布函数 3.海莱第一定理 任意一个一致有界的非降函数列 4.海莱第二定理及其推广 可推广至 5.正极限定理 若分布函数列 6.逆极限定理 若特征函数列 则相应 四大收敛与特征函数的关系 1. 考虑到 2.依分布收敛与特征函数 3.依概率收敛&几乎处处收敛与特征函数 积分运算使得函数的部分信息丧失,进而无法由特征函数直接区分这两种收敛 渐进等价性引理的证明(By 特征函数) 引理.两个函数列之和在 Slutsky定理的证明(By 集合) 将依概率收敛 渐进等价性引理与Slutsky定理的关系: 一个依概率收敛,两个依分布收敛->本质相同,表述不同 Conclusion:博赫纳尔-辛钦定理: 随机变量唯一确定集合映射关系,唯一确定分布函数,唯一确定特征函数 随机变量是三元集,分布函数性质较差,而特征函数性质堪称完美 故应当以集合&特征函数的视角研究随机变量与概率论 进入玄学范围,概率的问题,随机变量的问题,在其三元集上讨论,这一做法极其愚蠢 将概率论与卡巴拉生命之树相联系,那么: 对应于 对应于 若是无视了这一王座,未曾见这一王冠 只见粗干,甚至于一叶障目 那么概率论到最后也不过是白学了,毫无卵用 书中写遍概率符号 然而在我眼中只有罢了 Tips:最后附上CLT&WLLN&SLLN的证明梗概,需要详细证明可以查阅相关书籍或者私戳我: CLT的证明有三种套路: 1.特征函数&海莱定理 2.林德伯格-莱维条件 3.特殊情况下的代数变换 WLLN的证明有两种套路: 1.特征函数的泰勒展开 2.马尔可夫不等式&波恩斯坦不等式&一般化 SLLN的证明有两种套路: 1.特征函数的泰勒展开 2.博雷尔康特立引理&噶依克·瑞尼不等式 |
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