一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。

\((X,\Vert\cdot\Vert)\)，有 \(x_n,x\in X\)，称 \(x_n\) 强收敛到 \(x\)，若 \(\Vert x_n-x\Vert \to 0\)；称 \(x_n\) 弱收敛到 \(x\) 若 \(\forall f\in X'\) 都有 \(f(x_n)\to f(x)\)，记为 \(x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x.\)

关于弱收敛有以下几条性质：

证明：仅证第二条。这个性质说明 \(x_n\) 有界，因此容易想到需要用一致有界性原理证明，但是该原理说明的是算子的一致有界，这里是元素 \(x_n\) 有界，因此又可以想到上一篇讲到的典范映射 \(J:X\to X''\) 从元素映射到算子。因此这里考虑 \(X'\) 上的线性泛函 \(g_n= J(x_n):X'\to \mathbb{R}\)，有 \(g_n(f)=f(x_n),\forall f\in X'.\) 于是有 \(f(x_n)\to f(x)\)，因而固定任一 \(f\)，都有 \(\sup_n g_n(f) < \infty\)，同时由于 \(X'\) 总为 Banach 空间，利用一致有界性原理有 \(\sup_n \Vert g_n\Vert =\sup_n \Vert x_n\Vert < \infty\)。证毕。

定理：\((X,\Vert\cdot\Vert)\)，有 \(x_n,x\in X\)，则 \(x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\) 当且仅当：

NOTE：该定理简化了弱收敛的判断条件，只需要在 \(X'\) 的一个子集上判断函数值是否收敛。

证明：\("\Longrightarrow"\) 易证；

\("\Longleftarrow"\)，首先考虑 \(\forall f\in \text{span}M\)，容易得到 \(f(x_n)\to f(x)\)。然后对 \(\forall g\in X'\)，那么存在 \(f_m\in\text{span}M\) 使得 \(\Vert f_m-g\Vert \le 1/m\)，因此 \[ \begin{align} |g(x_n)-g(x)|&\le |g(x_n)-f_m(x_n)|+|f_m(x_n)-f_m(x)|+|f_m(x)-g(x)| \\ &\le \frac{1}{m}(\Vert x_n\Vert+\Vert x\Vert)+|f_m(x_n)-f_m(x)| \to 0(m,n\to\infty) \end{align} \] 证毕。

例子 1：考虑 \(X=\ell^p(1