素养拓展04指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、常规思路

1.①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；

②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；

注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。

2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.

3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。

二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数

1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln?e

2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(?(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与?(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。

常见指数、对数的同构函数有:

(1)y=xex与y=xln?x;(2)y=e

(3)y=x+ex与y=ln?x+x;(4)y=e

3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.

三、放缩法

1.ln?x?x?1(x0)；ln?x?1?

2.

3.sin?xxtan?x

二、题型精讲精练

【典例1】设，，，则a，b，c的大小关系为（????）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据换底公式可得，由对数函数的性质可得，从而可比较大小.

【详解】,

因为在上单调递增，所以，

所以，即.

又，所以.

故选:A.

【典例2】已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先对等式变形得到，，，构造，求导得到其单调性，结合，，得到，，由推出，结合函数单调性求出，从而比较出大小.

【详解】由，同理，，

令，，

当时，，当时，，

可得函数的递减区间为，递增区间为，而2e34，

又由，，可得，，

，

又由及的单调性，可知，故．故选：C．

【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到，，，从而构造，达到比较大小的目的.

【典例3】已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．

【详解】.设，则有，单调递减，从而，所以，故，即，而，故有．故选：A．

【题型训练1-刷真题】

1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（????）

A． B． C． D．

3．（2020·全国·统考高考真题）已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（????）

A．abc B．bac C．bca D．cab

4．（2020·全国·统考高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

【题型训练2-刷模拟】

1.常规思路

1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

2．已知实数，，，则的大小关系为（????）

A． B． C． D．

3．已知，，，则（????）

A．B．C． D．

4．已知，则（????）

A．B．C． D．

5．已知，，则（????）

A．B．C． D．

6．设，则a，b，c的大小顺序为（????）

A． B． C． D．

2.构造函数

一、单选题

1．设，，（），则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

2．已知，则（????）

A．B．C． D．

3．设，，，则（????）