高等数学基础篇(数二)之二重积分的常考题型 |
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二重积分常考题型: 1.累次积分交换次序或计算 2.二重积分计算 3.二重积分的不等式 文章目录1.累次积分交换次序或计算 1.1交换累次积分次序一般方法 1.2极坐标转换为直角坐标 1.3直角坐标转换为极坐标 2.二重积分计算 编辑 3.二重积分的不等式 1.累次积分交换次序或计算 1.1交换累次积分次序一般方法(1)画域 根据积分上下限在图中画出积分域; (2)定限 交换积分次序,重新确定积分上下限; 解析: 1.2极坐标转换为直角坐标这个积分是用极坐标表示的,看内层积分的上下限,上限为cosθ,即r=cosθ,两边同时乘r, 可得r²=rcosθ,已知在极坐标中,r²=x²+y²,rcosθ=x则x²+y²=x,即得y=√x-x²,即为上限; 解析: 这个题的话,根据前面讲过的适合用极坐标解题的积分域和被积函数,这个题都符合,所以想到用极坐标解题; 1.3直角坐标转换为极坐标内层上限为√2x-x²,即y=√2x-x²,两边同时平分得:y²=2x-x²,即为x²+y²=2x,为一个偏心圆; 已知x²+y²=r²,x=rcosθ,则r=2cosθ,即为上限; (这个偏心圆的圆心,暂时先不交大家怎么求的,后面会单独出一期关于椭圆,圆,偏心圆的圆心求法) 2.二重积分计算解析: 积分域为一个圆,关于x轴上下对称,函数y关于y为奇函数,所有积分为0; 因为积分域是以原点为圆心的圆,肯定是关于y=x对称的,所有满足变量对称性; 解析:(-1,1)点到原点这条标红的线,是辅助线,方便后续解题; 函数xy关于x轴和y轴都是奇函数,且在上图划分的两个区域D3和D2内积分域分别关于x轴,y轴对称,故∬xydxdy=0; 当在积分域D3内时积分域关于x轴对称,函数cosxsiny关于y为奇函数; 当在积分域D2内时积分域关于y轴对称,函数cosxsiny关于x为偶函数; ∬(xy+cosxsiny)dxdy=∬(xy)dxdy+∬cossinydxdy =∬(xy)dxdy(D2)+∬(xy)dxdy(D3)+∬cossinydxdy(D2)+∬cossinydxdy(D3) =0+0+∬cossinydxdy(D2)+0 =∬cossinydxdy(D2) =2∬cossinydxdy(D1) 这个题的积分域是个圆环,我画的图可以参考一下; 3.二重积分的不等式 解析: 积分域为以原点为圆心,1为半径的圆;被积函数为y-x; y-x>0,y>x; y-xI4; |
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