我不想过那种一眼望得到头的人生，所以我努力摆脱困境。

二重积分的例题一般要求你求平面区域的面积

所以这里就分两种坐标计算的题型

I = ∬ D f ( x , y ) d x d y I = \iint_D f(x,y)d_xd_y I=∬D​f(x,y)dx​dy​

X型区域： I = ∫ a b d x ∫ y 1 ( x ) y 2 ( x ) f ( x , y ) d y I = \int_a^{b} d_x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f (x,y)d_y I=∫ab​dx​∫y1​(x)y2​(x)​f(x,y)dy​ Y型区域： I = ∫ a b d y ∫ x 1 ( y ) x 2 ( y ) f ( x , y ) d x I = \int_a^{b} d_y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f (x,y)d_x I=∫ab​dy​∫x1​(y)x2​(y)​f(x,y)dx​

I = ∫ α β d θ ∫ φ 1 ( θ ) φ 2 ( θ ) f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ I = \int_{\alpha}^{\beta} d_{\theta} \int_{\varphi_1 (\theta)}^{\varphi_2 (\theta)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)\rho d_\rho I=∫αβ​dθ​∫φ1​(θ)φ2​(θ)​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ​

注意不要忘记极坐标里面最后那个 ρ \rho ρ

在计算的时候要注意这么几点：

1） 划分的区域D要简单，越简单越好 2）如果D和圆有关， f ( x , y ) 与 x 2 + y 2 , y x , x y f(x,y) 与 x^2 + y^2 , \frac{y}{x},\frac{x}{y} f(x,y)与x2+y2,xy​,yx​ 有关，我们解题一般使用极坐标 3）要特别注意是否可以使用对称性来解题。

若D关于 x 轴对称，记 x 轴以上的区域为 D 1 D_1 D1​

有： ∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint_D f(x,y) d_\sigma = 0 ∬D​f(x,y)dσ​=0 其中 f 为奇函数； S = 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ S = 2\iint_{D1} f(x,y) d_\sigma S=2∬D1​f(x,y)dσ​ 其中f为偶函数

例题

解：积分区域如图所示

I = ∬ D ( 3 x + 2 y ) d x d y I = \iint_D (3x+2y) d_xd_y I=∬D​(3x+2y)dx​dy​

选用x型区域积分

= ∫ 0 2 d x ∫ 0 2 − x ( 3 x + 2 y ) d y = \int_0^{2} d_x \int_0^{2-x} (3x+2y)d_y =∫02​dx​∫02−x​(3x+2y)dy​

= ∫ 0 2 3 x y + y 2 ∣ 0 2 − x d x = \int_0^{2} 3xy + y^2 |_0^{2-x} d_x =∫02​3xy+y2∣02−x​dx​

= 20 3 =\frac{20}{3} =320​

先画出被积区域如图：

化成极坐标为：

选用y型区域，穿入线为 y = x 2 , 穿 出 线 为 x = 1 y = x^2, 穿出线为 x = 1 y=x2,穿出线为x=1，将这两条线化为极坐标形式即为 ρ \rho ρ的被积函数。

I = ∫ 0 π 4 d θ ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ sec ⁡ θ f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} d_\theta \int_{\tan \theta \sec \theta}^{\sec \theta} f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta) \rho d_\rho I=∫04π​​dθ​∫tanθsecθsecθ​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ​

其中D为半径为R的圆：

解： 因为 D D D关于X轴Y轴对称

所以 ∬ D 3 x d σ = 0 , ∬ D − 6 y d σ = 0 \iint_D 3x d_\sigma = 0, \iint_D -6y d_\sigma = 0 ∬D​3xdσ​=0,∬D​−6ydσ​=0

其中3x是关于x轴的奇函数， -6y是关于y轴的奇函数

则： I = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R ρ 2 ρ d ρ I = \int_0^{2 \pi} d_\theta \int_0^{R} \rho^2 \rho d_\rho I=∫02π​dθ​∫0R​ρ2ρdρ​ = π 2 R 4 + 9 π R 2 = \frac{\pi}{2} R^4 + 9\pi R^2 =2π​R4+9πR2