一些内容参考自 《计算机组成原理微课版》 《计算机科学导论》 网络内容

定点数采用原码和反码表示有两个零，即正零和负零。使用补码和移码表示有一个0。

C语言中char/short/int/long都是补码表示的定点整数

原因：不算符号位，数值位有n位。

在符号位为正(就是0)且当n位全为1时数最大，为 2 n − 1 2\mathop{{}}\nolimits^{{n}}-1 2n−1

在符号位为负时，由于是补码表示，所以模为 2 n + 1 2\mathop{{}}\nolimits^{{n+1}} 2n+1，用a表示模数，那么对于一个负数x，有x = x + a。

也就是超过模数范围的应当补全或者舍弃模数。就好比钟表数制是12的模，那么16点相当于4 = 16 - 12。

补码的运算相当于：非负数补码即真值，负数则补码等于真值加模数

那么-111111(n个1)就相当于该数再加上 2 n + 1 2\mathop{{}}\nolimits^{{n+1}} 2n+1。

这相当于什么？相当于把整个数轴的负数部分移到了正数最大值的右边。跟移码很像，但是是部分的偏移。这其中移过去的也包含原本存在的"负零"那个值，但是就不再表示负0了。

所以不难理解补码表示下的数值位有n位的定点整数范围是 − 2 n ≤ x ≤ 2 n − 1 -2\mathop{{}}\nolimits^{{n}} \le x \le 2\mathop{{}}\nolimits^{{n}}-1 −2n≤x≤2n−1

理解了定点整数就不难理解定点小数。把n位数值位的定点整数范围除以 2 n 2\mathop{{}}\nolimits^{{n}} 2n就能得到它的范围。

一个二进制整数小数点左移一位就是除二，对于数据位为n位的二进制数，左移n为到数值位之前，符号位之后，就是除以2^n ，动态缩小的范围也需要除以这个。为什么能除？因为范围是依靠最大值和最小值确定的，最大值和最小值按照1/(2^n)的比例变化了，范围也会按照这个比例变化。

从定点数过渡到浮点数的理解是这样的：定点数的定长的。因此表示的数据范围是一定的(知道数据位n一定能知道表示的范围)，如果小数点是浮动的，那么就能扩大它的表示范围和它的精度

浮点数顾名思义，点是浮动的。这与它的储存结构无关。

二进制浮点数采用了类似于十进制科学计数法的表示方法。

一个科学计数法例子是 1.1 × 10 − 1 {1.1 \times 10\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}} 1.1×10−1，它需要一个小数，和一个以十为底的幂。

二进制数表示则是：

N = 2 E × M = 2 ± E × ( ± 0. m ) {N=2\mathop{{}}\nolimits^{{E}} \times M=2\mathop{{}}\nolimits^{{ \pm E}} \times \left( \pm 0.m \right) } N=2E×M=2±E×(±0.m)

N是二进制数。尾数M是定点小数，取值范围是 M ∈ [ 1 , 2 ) {M \in \left[ 1,2 \right) } M∈[1,2)，阶码E是定点整数。与科学计数法相比最显著的区别就是科学计数法的阶码是以10位底的，这里则是以2为底的。

在十进制的科学计数法Mantissa x Base^Exponent中，尾数M的取值范围是 M ∈ [ 1 , 10 ) {M \in \left[ 1,10 \right) } M∈[1,10)，也就是说诸如 0.1 × 10 3 0.1 \times 10\mathop{{}}\nolimits^{{3}} 0.1×103这样的是不对的。

那么二进制的浮点数表示法类有没有类似规则呢？有，即规格化处理。

规格化处理要求尾数的最高位为1，也就是尾数的绝对值应当大于二进制的0.1或者十进制的0.5，比如说用6位储存的尾数中，001101不是一个合格的尾数，而100010是一个合格的尾数，判断依据是最高位是否为1。

事实上既然最高位是确定的，因此还可以不表示最高位，这样能够多表示一位数据。到时候给数据前面补一个1就行了。基于这点，被隐藏的最高位被称为隐藏位。

上面讲的内容不难推出二进制浮点数的储存结构类似于下面这般。

一个明显的问题是，虽然很明显阶符只有正负，也就是只需要一位来储存，但是阶数并不知道是多少位来表示的。

也因此在整个浮点数概念下存在很多标准，这些标准使用大同小异的方法表示浮点数，但通常有精度的差异。

IEEE于1985年发布IEEE754标准，是当今主流采用的浮点数标准。包括32位单精度浮点数和64位双精度浮点数，在C语言中就是熟悉的float和double两种类型。

其中32位的浮点数储存结构如下所示、

由于单精度浮点数阶码E按移码储存，其偏移量是127，因此单精度浮点数也被叫做余127码(计算机科学导论P37底部)，类似地，该标准所规定的双精度浮点数也被称作余1023码(Excess_1023)。

例如对于E=1000 0011得到真值应当由它减去127，即1000 0011-0111 1111=0000 0100

采用定点小数储存的尾数M，默认小数点在M的最左侧，且小数点左侧还有一个隐藏的1.因此实际有效位数会多一位变成24位。

书中指出浮点数的尾数M可以看做原码储存。它始终是个正数，因为若有符号，该符号会在S中储存。

储存的步骤如下(源自计算机科学导论一书)

注1：阶码E和尾数M都为0时表示0，并且存在+0和-0两个。

注2：十进制小数大多数不能精确转换为二进制小数，转换会因四舍五入产生误差。

注3：在对误差极其敏感的场合建议使用十进制浮点数进行运算。

对于单精度阶码E采用8位储存，即最大为255。对于读取分为两种情况：

其中， E ∈ [ 1 , 255 ) E \in \left[ 1,255 \right) E∈[1,255)时按规格化数储存，E==0&&M!=0时则按非规格化处理。

非规格化的目的是提高表示精度。原因是如果按照规格化处理，表达式是 N = ( − 1 ) S × 2 − 127 × 1. M N= \left( -1 \left) \mathop{{}}\nolimits^{{S}} \times 2\mathop{{}}\nolimits^{{-127}} \times 1.M\right. \right. N=(−1)S×2−127×1.M，其中2的幂次是 − 127 -127 −127，如果不按照规格化储存则是 − 126 -126 −126。这两个区别如下：

对于相同的尾数M=00000000000000000000001

如果是非规格化数：0.00000000000000000000001(小数点后面23位)再把小数点左移126位，结果是 2 − 149 2^{{-149}} 2−149。

而规格化储存的话最小数是1.00000000000000000000001(小数点后面23位)再把小数点左移127位，显然这个比上面那个大。

显然，使用非规范化数可以表示比规范化数更小的数值（提高精度），当然非规范化数的使用也会带来一些性能开销。

单精度与双精度的相关储存位示图可以在 binaryconvert.com 进行直观验证。

不论是定点数还浮点数，能够表示的范围都是不是整个数轴，只能表示数轴上的一部分，就好像那些数轴的刻度一样。并且定点数的刻度是均匀的，浮点数的刻度不是均匀的。越靠近0越密集。

图源来自计算机组成原理微课版(谭志虎主编)