本文介绍在计算机体系结构中浮点floating-point和定点fixed-point数据的表示，浮点到定点转换的各种舍入和截断处理方式，定点数据的Q格式表示，根据信号处理算法来进行定点数据的定标方法，定点数据的加减乘除各种数学模拟操作方法，最后以FFT运算为例说明如何在定点DSP上提高定点运算的精度

计算机体系结构中浮点和定点数据的表示

1、定点数： 定点数指小数点在数中的位置是固定不变的，通常有定点整数和定点小数或者说是定点分数。在对小数点位置作出选择之后即定标定了Q值后，运算中的所有数均应统一为定点整数或定点小数，在运算中不再考虑小数点的位置问题。 （1）定义：数据中小数点位置固定不变的数 （2）种类：定点整数、定点小数(分数fraction) （3）小数点在符号位与有效位之间， 需要注意的是 定点数受字长的限制，超出范围会有溢出。 2、浮点数： 浮点数中小数点的位置是不固定的，用指数和尾数来表示。通常尾数为纯小数，指数为整数，尾数和指数均为带符号数。尾数的符号表示数的正负；指数的符号则表明小数点的实际位置。 （1）形式：V＝MX2E （2）M：尾数Mantissa （3）E：指数Exponent （4）在计算机中M和E表示形式为尾数符号、指数、尾数

需要注意的是，浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由指数决定。 IEEE754的浮点表示

a) 两种基本浮点格式：单精度和双精度。

IEEE单精度格式具有24位有效数字（1个符号位，23位尾数），8位的指数部分，总共占用32 位。IEEE双精度格式具有53位有效数字精度（1个符号位，52位尾数），11位的指数部分，并总共占用64位。

说明：基本浮点格式是固定格式，相对应的十进制有效数字分别为7位和17位。基本浮点格式对应的C/C++类型为float和double。

b) 浮点到定点的四种舍入(截断)方向：

向最接近的可表示的值；当有两个最接近的可表示的值时首选"偶数"值；向负无穷大（向下）；向正无穷大（向上）以及向0（截断）。

说明：舍入模式也是比较容易引起误解的地方之一。IEEE 754标准根本不支持四舍五入模式，它的默认模式是最近舍入（Round to Nearest），它与四舍五入只有一点不同，对.5的舍入上，采用取偶数的方式。如：

最近舍入模式：Round(0.5) = 0; Round(1.5) = 2; Round(2.5) = 2;

四舍五入模式：Round(0.5) = 1; Round(1.5) = 2; Round(2.5) = 3;

向0（截断）舍入：C/C++的类型转换。(int) 1.324 = 1，(int) -1.324 = -1;

向负无穷大（向下）舍入：C/C++函数floor()。例如：floor(1.324) = 1，floor(-1.324) = -2。

向正无穷大（向上）舍入：C/C++函数ceil()。ceil(1.324) = 2。Ceil(-1.324) = -1;

后两种舍入方法据说是为了数值计算中的区间算法，但很少被应用。

3、定点数与浮点数区别 定点表示法运算直观，但数的表示动态范围较小(对于32位定点整数而言，数据范围只能从-2147483648到2147483647)，不同的数运算时要考虑比例因子的选取，以防止溢出，对于某些应用场合，如高品质音频，要求高达24bit即144dB的动态范围，使用定点运算就需要不断的调整比例因子以满足精度要求。浮点表示法运算时可以不考虑溢出（即使对于32位单精度浮点而言，其数据范围也能从，但浮点运算在实际的平台实现复杂度较高，即运算复杂度较高，要掌握定、浮点数的转换方法及浮点数规格化方法。 

单精度格式浮点数表示范围              指数     尾数       数值(二进制)           数值(十进制) 最大数       0xfe     0x7fffff   1.(23个1)  * 2^(+127)  3,4028236692093846346337460743177e+38 最小数       0x1      0x0        1.(23个0)  * 2^(-126)  1,1754943508222875079687365372222e-38 最小弱规范数 0x0      0x1        0.(22个0)1 * 2^(-126)  1,4012984643248170709237295832899e-45

定点数据的定标Q

一般的定点处理器的寄存器字长都是有限的，一般为16位或者32位，还有24位的DSP处理器，当然字长越长，所能表示的数据范围越大，精度也越高。定点DSP芯片的数以2的补码形式表示，以16位字长为例。每个16位数用一个符号位来表示数的正负，0表示数值为正，l则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此， 二进制数0010000000000000b=0x2000H=8192 二进制数1111111111111100b=0xfffcH=-4 对于定点处理器而言，它并不清楚数据的小数点位置，它只能根据指令把数据做统一的运算处理，此时程序员需要确定小数点的位置即定标，然后定标过程中需要考虑数据的动态范围和精度要求。定点数的定标一般采用Q表示法，Q表示小数点在字宽中的位置。同样一个16位数，若小数点设定的位置不同（即定标不同），它所表示的数也就不同。例如， 16进制数2000H=8192，用Q0表示 16进制数2000H=0.25，用Q15

显然，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。例如，Q0 的数值范围是一32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为1/32768=0.00003051。因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想精度提高，则数的表示范围就相应地减 小。在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点，即权衡动态范围和精度。 浮点数与定点数的转换关系可表示为： 浮点数(x)转换为定点数(xq)：xq=(int)x* 2Q，当然浮点转换为顶点时需要考虑以上提到的舍入方式，不同的舍入方式，其精度也不同。 定点数(xq)转换为浮点数(x)：x=(float)xq*2-Q

定点模拟的浮点操作

浮点的加减法需要先把小数点统一到一个相同的位置，然后再加减，统一小数点位置可以用左移到一个Q值高的定点位置或者右移到Q值低的定点位置，显然左移的实现需要保证加减的结果不会导致溢出，而右移的方法需要考虑数据精度是否满足需求。一般的DSP处理器都不会考虑加减运算导致的数值溢出问题，因而程序员需要用更长的字长来防止溢出，或者采用饱和的方式以防止数据的上溢或者下溢，有些DSP芯片会有专门的饱和加减的操作，有些DSP还会包含更长字长的累加器来存储加减的结果以防止溢出。

定点乘法运算的模拟，则需要知道乘数和被乘数的Q值以及乘积结果的Q值， 设浮点乘法运算的表达式为： float x，y，z； z=xy； 假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则 z=xy zq*2-Qx=xq*yq*2-(Qx+Qy) zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy) 所以定点表示的乘法为： int x，y，z； long temp； temp=(long)x； z=(temp*y)>>(Qx+Qy-Qz)； 例 定点乘法。 设x=18.4，y=36.8，则浮点运算值为=18.4*36.8=677.12； 根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=5，所以 x=18841；y=18841； temp=18841L； z=(18841L*18841)>>(10+9-5)=354983281L>>14=21666； 因为z的定标值为5，故定点z=21666，即为浮点的z=21666/32=677.08。

对于定点除法运算而言，和乘法类似，需要清楚数据的Q值，然后对结果做调整。 设浮点除法运算的表达式为： float x，y，z； z=x/y； 假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，则 z=x/y zq*2-Qz=(xq*2-Qx)/(yq*2-Qy) zq=(xq*2(Qz-Qx+Qy))/yq 所以定点表示的除法为： int x，y，z； long temp； temp=(long)x； z=(temp