证明　不妨设矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征多项式为 f ( λ ) = ∣ A − λ E ∣ = ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ = k 0 + k 1 λ + ⋯ k n λ n (1) f(\lambda) = |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \\ \end{vmatrix} = k_0 + k_1 \lambda + \cdots k_n \lambda^n \tag{1} f(λ)=∣A−λE∣= ​a11​−λa21​⋮an1​​a12​a22​−λ⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​−λ​ ​=k0​+k1​λ+⋯kn​λn(1) 因为矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1​,λ2​,⋯,λn​ 是特征方程 f ( λ ) = 0 f(\lambda) = 0 f(λ)=0 的 n n n 个解，所以上式 ( 1 ) (1) (1) 可以写成 f ( λ ) = ( λ 1 − λ ) ( λ 2 − λ ) ⋯ ( λ n − λ ) (2) f(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) \tag{2} f(λ)=(λ1​−λ)(λ2​−λ)⋯(λn​−λ)(2) 根据韦达定理可知，上式 ( 2 ) (2) (2) 中 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1 的系数 k n − 1 = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n k_{n-1} = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n kn−1​=λ1​+λ2​+⋯+λn​。

因为在行列式 ∣ A − λ E ∣ |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| ∣A−λE∣ 中，除主对角线对应的项以外，其他项展开后关于 λ \lambda λ 的最高项均小于等于 n − 2 n-2 n−2 次；所以，若要得到 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1 项，只能通过主对角线对应的项得到。主对角线对应的项为 ( a 11 − λ ) ( a 22 − λ ) ⋯ ( a n n − λ ) (3) (a_{11} - \lambda) (a_{22} - \lambda) \cdots (a_{nn} - \lambda) \tag{3} (a11​−λ)(a22​−λ)⋯(ann​−λ)(3) 因为上式 ( 3 ) (3) (3) 中 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1 的系数即式 ( 1 ) (1) (1) 中 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1 的系数 k n − 1 k_{n-1} kn−1​，根据韦达定理，有 k n − 1 = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n k_{n-1} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} kn−1​=a11​+a22​+⋯+ann​。

综上所述，有 λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = k n − 1 = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = k_{n-1} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} λ1​+λ2​+⋯+λn​=kn−1​=a11​+a22​+⋯+ann​ 得证。