在n阶行列式 D = ∣ a i j ∣ D=|a_{ij}| D=∣aij​∣中任取k行（k列），则由这k行（k列）元素组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于 ∣ D ∣ |D| ∣D∣；

当 k = 1 k=1 k=1时，行列式 D D D的任一行（任一列）元素与其对应代数余子式乘积之和为 ∣ D ∣ |D| ∣D∣，与另一行（另一列）的代数余子式乘积之和为0，即： ∑ k = 1 n a i k M j k = { ∣ D ∣ , j = i   0 , j ≠ i ∑ k = 1 n a k i M k j = { ∣ D ∣ , j = i   0 , j ≠ i \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}M_{jk} = \begin{cases}|D|,&j=i\\\space 0,&j\neq i\end{cases}\\ \sum\limits_{k=1}^n a_{ki}M_{kj} = \begin{cases}|D|,&j=i\\\space 0,&j\neq i\end{cases} k=1∑n​aik​Mjk​={∣D∣, 0,​j=ij​=i​k=1∑n​aki​Mkj​={∣D∣, 0,​j=ij​=i​

两个特殊的拉普拉斯展开式：设 A , B A,B A,B分别为 m , n m,n m,n阶矩阵，则： ∣ A ∗ O B ∣ = ∣ A O ∗ B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ O A B ∗ ∣ = ∣ ∗ A B O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \left|\begin{matrix} A & *\\ O & B \end{matrix} \right| = \left|\begin{matrix} A & O\\* & B \end{matrix} \right| = |A||B|\\ \left|\begin{matrix} O & A\\ B & * \end{matrix} \right| = \left|\begin{matrix}* & A\\ B & O \end{matrix} \right| = (-1)^{mn}|A||B|\\ ∣∣∣∣​AO​∗B​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​A∗​OB​∣∣∣∣​=∣A∣∣B∣∣∣∣∣​OB​A∗​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​∗B​AO​∣∣∣∣​=(−1)mn∣A∣∣B∣