最近，经常接触到 Compact set 这个名词。例如，这几天闹的沸沸扬扬的黎曼猜想，那位老教授放在网上的证明有一行说 compact convex set。我觉得似乎很有必要弄明白这个名词到底什么含义。

若一个集合它不仅是闭集还是有界的，则该集合被称作紧集（compact set）1。

例如： 区间 ( − ∞ , 2 ] (-\infty, 2] (−∞,2] 不是紧集，因为它下无界。 区间 ( − 2 , 4 ) (-2, 4) (−2,4) 不是紧集，因为它不是闭集。 区间 [ − 2 , 4 ] [-2, 4] [−2,4] 是紧集，因为它既是闭集又有界。

紧集的几何意义是该集合内不能有空隙。

对集合中的任意一点，存在该点的一个邻域也全在集合中。 区间 ( − 1 , 2 ) (-1, 2) (−1,2) 是开集

在拓扑空间中，闭集（closed set）是指其补集为开集的集合2。 另一个比较好的理解是：若一个集合包含其所有的界限点，则该集合为闭集。 例如： 区间 ( − ∞ , 2 ] (-\infty, 2] (−∞,2] 是闭集（这是一个半区间）。 区间 ( − 1 , 2 ] (-1, 2] (−1,2] 既不是开集，也不是闭集。 有理数集合 Q Q Q 既不是开集，也不是闭集。

Compact Space 维基百科 ↩︎

Closed Set 维基百科 ↩︎