说是复习，其实是预习（

平凡拓扑: \(\{\varnothing, X\}\)(最粗拓扑);

离散拓扑: \(\{U: U\subset X\}\)(最细拓扑);

欧式拓扑: \(\{U: x\in U\Leftrightarrow B(x,\delta)\subset U\}\);

余有限拓扑: \(\{U: U=\varnothing 或 U^c 是有限集\}\)(类似有余可数拓扑).

对于包含 \(x\) 的集合 \(N\), 若存在开集 \(O\), s.t. \(x\in O\subset N\), 则称 \(N\) 是 \(x\) 的邻域.

命题 设 \(X\) 是拓扑空间, 则 \(W\) 是 \(X\) 的开集当且仅当 \(W\) 是其中每点的邻域.

开集的补集称为闭集, 由此可以立刻得到:

一个例子: \[A=\{(x,\sin(\frac{\pi}{x}))~\vert~02)\) 的基本群为平凡群. 基本群的应用 代数学基本定理: \(\mathbb{C}\) 上的 \(n\) 次多项式存在零点; Brouwer 不动点定理: \(\mathbb{B}^n\) 具有不动点性质(任意到自身的连续映射有不动点). Van Kampen 定理

van kampen 设 \(X\) 可以写成非空开集 \(X_1\), \(X_2\) 的并集且 \(X_0=X_1\cap X_2\neq\varnothing\). 设 \(X\) 与 \(X_0\) 道路连通, 取 \(x_0\in X_0\), 则 \[\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X_1,x_0)*\pi_1(X_2,x_0)/\sim,\] 其中 \(\sim\) 是等价关系 \[\{i_{1*}(\alpha)=i_{2*}(\alpha)~\vert~\alpha\in\pi_1(X_0,x_0)\}~(i_k~是~X_0\to X_k~的包含映射).\]

两个特殊情形如下:

推论 1 若 \(X_0\) 单连通, 则 \[\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X_1,x_0)*\pi_1(X_2,x_0).\] 推论 2 若 \(X_2\) 单连通, 则 \[\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X_1,x_0)/\sim,\] 其中 \(\sim\) 为等价关系 \(\{i_{1*}(\alpha)=e~\vert~\alpha\in\pi_1(X_0,x_0)\}\).

关于曲面还有如下结论:

如下定义曲面的可定向性:

闭曲面分类定理 \(\mathbb{S}^2\), \(nT^2~(n\in\mathbb{N})\), \(m\mathbb{P}^2~(m\in \mathbb{N})\) 是两两不同胚的闭曲面, 且所有的闭曲面都可以归为这三类. 进一步, 1. 可定向曲面必定同胚于 \(\mathbb{S}^2\) 或 \(nT^2~(n\in\mathbb{N})\); 2. 不可定向曲面必定同胚于 \(m\mathbb{P}^2~(m\in \mathbb{N})\).

简单来说, 复叠映射就是把一族同胚的不交开集映射到同一开集的映射, 原空间就称为复叠空间. 如果该映射是 \(n\) 对 \(1\) 的, 则该空间是 \(n\) 重的.

道路提升 若 \(\alpha\) 是以 \(b_0\in B\) 为起点的一条道路, \(e_0\in p^{-1}(b_0)\), 则存在 \(E\) 内唯一一条以 \(e_0\) 为起点的道路 \(\tilde{\alpha}\), s.t. \[\alpha=p\circ\tilde{\alpha}.\] 这说明 \(B\) 中以 \(b_0\) 为起点的道路与 \(E\) 中以 \(e_0\) 为起点的道路一一对应. 同伦提升 若 \(\alpha_1,\alpha_2\) 是 \(B\) 内两条道路, 且 \[\alpha_1\underset{F}{\simeq}\alpha_2.\] 设 \(\tilde{\alpha}_1\) 是 \(\alpha_1\) 的提升, 且 \(\tilde{\alpha}_1(0)=e_0\in E\), 则 \(F\) 有唯一提升 \[\tilde{F}: I\times I\to E,~\text{s.t.}~\tilde{F}(0,0)=e_0.\] 推论 若 \(\alpha_1,\alpha_2\) 是 \(B\) 内两条道路, 且 \[\alpha_1\simeq\alpha_2,~rel\{0,1\}.\] 设 \(\tilde{\alpha}_i\) 是 \(\alpha_i\) 的提升, 且 \(\tilde{\alpha_1}(0)=\tilde{\alpha_2}(0)\), 则 \[\alpha_1\simeq\alpha_2,~rel\{0,1\}.\] 这说明道路提升中产生的一一对应能够保持保端点同伦.

命题 集合 \(\{p_*(\pi_1(E,e))~\vert~e\in p^{-1}(b_0)\}\) 是 \(\pi_1(B,b_0)\) 的某个子群的共轭类. 这说明复叠空间 \((E,p)\) 决定了 \(\pi_1(B,b_0)\) 中的一个子群共轭类.

映射提升的唯一性 设 \((E,p)\) 是 \(B\) 上的复叠空间, \(X\) 连通, 映射 \(\tilde{f_i}: X\to E\), \(i=1,2\) 都是 \(f: X\to B\) 的提升. 若 \[\exists x_0\in X,~\text{s.t.}~\tilde{f}_1(x_0)=\tilde{f}_2(x_0),\] 则 \(\tilde{f}_1=\tilde{f}_2\). 这说明对于 \(f(x_0)=b_0\), 满足 \(\tilde{f}(x_0)=e_0\) 的提升若存在必唯一.

对于提升的存在性, 有如下定理:

映射提升定理 设 \(X\) 是道路连通且局部道路连通空间, \(f: X\to B\) 连续, \(f(x_0)=b_0\), \(e_0\in p^{-1}(b_0)\), 则: \[\exists~提升~\tilde{f},~\text{s.t.}~\tilde{f}(x_0)=e_0~\Leftrightarrow~f_*(\pi_1(X, x_0))\subset p_*(\pi_1(E,e_0)).\]

定理 \((E_1,p_1)\) 与 \((E_2,p_2)\) 等价 \(\Leftrightarrow\) 它们决定 \(\pi_1(B,b_0)\) 的同一个子群共轭类.

以下命题等价:

命题 设 \(p:E\to B\) 是复叠空间, \(p': E'\to B\) 是万有复叠空间, 则有复叠映射 \(\tilde{p}: E'\to E\), s.t. \(p'=p\circ\tilde{p}\).