为了为后续的讨论提供方便，先讨论一下平面点集的一些拓扑概念。

至于学习复变函数论所需要的基本的复数（complex number）的知识，我在此处假定读者已经接受过高中数学教育，能够掌握复数的一般形式、共轭复数、复数的加减乘除运算与其几何解释、复数的三角形式的基本概念。这里唯一需要多一句嘴的部分是关于复数的辐角。我们在后续的内容中认为复数的辐角主值的范围为而非高中的。至于复数的指数形式的内容读者可以在本系列第三十七节了解到，不再赘述。与一般教科书不同，我将在本章后期才讲述指数的乘幂与方根以及各类具体的复变函数的内容。本节概念众多，内容不要求完全掌握，阅读后续内容时可以随时回来明确概念。提示：配合脑内想象食用风味更佳。

我们始终考虑复数域（同时也代表复平面）：

（定义）   由不等式所确定的点集就是以为圆心，半径为的圆的内部，称为的邻域。当不等式成为时，即去掉了圆内部的圆心，称为的去心邻域。

（定义）   若对于某点集，有使得它的任意邻域内都包含其无数个点，则称为的聚点。若属于但不是它的聚点，则称为的孤立点，若不属于且非其聚点，则称其为的外点。的全体聚点所成的集合记作，称为的导集。

（定义）   若，则称为闭集。特别地，若没有聚点，则它显然是闭集。若的点存在一邻域全含于内，则称其为的内点。若一个集合的点全为自身的内点，则称其为开集。显然既是开集又是闭集。同时规定空集既是开集又是闭集。当补集运算是以为全集时，由于开集显然不能包含其自身补集的聚点，故开集的补集一定是闭集。相反，对于一个闭集来说，若它的补集中有一个点不是内点，则这个点的任意邻域内均含有这个闭集的点，也就是说它的任意邻域含有无穷多该闭集的点，即它为该闭集的聚点，然而它属于闭集的补集而非闭集，这与闭集是闭集相矛盾，因此闭集的补集一定是开集。若的任意邻域内同时有属于和不属于的点，则称其为的边界点。孤立点必然是边界点。全体边界点组成的点集叫做边界，记作。可以证明边界一定是闭集。

（定义）   若集合中的复数的模有上界，则称集合为有界集，否则为无界集。

（定义）   设有非空点集为开集且满足其中任意两点都可以用全含于内的折线连接，则称其为一个区域。和它的边界的并称为闭域，记为 。

注意，区域作为重要的概念将贯穿全章内容。

（定义）   有界集的直径定义为

（定义）   设有两实函数，均在闭区间连续。则称

所确定的点集为复平面上一条连续曲线。当连续曲线没有自身重合的点（即重点）时，即不存在使得（不算），则称其为简单曲线。特别地，若简单曲线还满足，则称为简单闭曲线。满足的导数均存在、连续且不为零的简单曲线，称为光滑曲线，它具有连续转动的切线。由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。

不加证明地引入下列定理：（我也不会证）

（Jordan曲线定理）   任一简单闭曲线将平面唯一地分为三个点集，它们满足：

三者彼此不交

是一个有界区域（称为的内部）

是一个无界区域（称为的外部）

若简单折线的一个端点属于，另一个属于，则它和必有交点。

由此可以引申出定义：

（定义）   沿着一条简单闭曲线有两个相反的方向。当观察者按某个方向沿前进一周时，的内部一直在左方，则称此方向为逆时针方向或正方向。反之为顺时针方向或负方向。

（定义）   设有区域，若在其内部无论怎样画简单闭曲线，该曲线内部都全含于区域内，则称为单连通区域，否则为多连通区域。

简单闭曲线的内部显然就是一个单连通区域。

此外，与实数类似，复数也可以有其完备性定理，证明方式与n维欧式空间完备性定理可以说完全一致。这属于额外内容，有兴趣的读者可以看我的文集“杂谈”。

在复平面的基础上引入无穷远元素，记为扩充复平面，这个新元素可以理解为模长为正无穷的新“复数”。从某一个有限复数出发，从任何方向前进均可到达无穷远元素处。即我们不考虑其辐角。无穷远元素也称无穷远点。

无穷远点的邻域看作是以原点为圆心的某圆周的外部，记

在引入无穷远元素的情况下，无穷远点成为复平面唯一的边界点。无穷远点是扩充复平面的内点。此时扩充复平面成为唯一无边界的区域。Jordan定理仍成立。对于单连通区域的定义要修改为“……无论怎么画简单闭曲线，该曲线内部或外部都全含于该区域内，……”

今后未强调“扩充”时，一律认为是在通常的复平面上讨论。