在求二元函数的重极限时, 极坐标代换法被很多人称为"万能解法", 很多教科书上也不加证明的直接使用了极坐标代换. 但也有人认为这种方法"不严谨", 不能满足"任意路径趋近".

为什么有人说极坐标代换万能? 为什么又有人说这东西不严谨?

哪有什么严谨不严谨, 对就是对, 不对就是不对, 今天这篇文章就全给你讲明白了.

认真读完这篇文章, 你可以完全理解并掌握求解二重极限的通法, 从此求重极限就像喝水一样自然.

很多老师说过, 使用极坐标代换, 将二元函数的极限转换成了一元函数的极限, 非常方便求解.

我们先来看这样一道例题:

例

解

那么, 问题出在哪里了呢?

很多人认为极坐标代换实际上只是沿直线趋近, 没有沿曲线趋近, 不满足"沿任意路径趋近", 所以会出错.[1][2]

 刘继英.用极坐标代换法求二重极限应满足的条件[J].辽宁师专学报(自然科学版),2006(01):3.

 知乎文章《二重极限的最强解法——极坐标代换法！！！》评论区

事实真是如此吗? 什么叫"沿任意路径"?

这种说法本身就非常模糊. 我们不可能列举出所有的曲线路径, 合着重极限就不能直接求了是吧.

我们来仔细看看重极限的定义.

 定义[3]

刚才的讨论得到了极坐标代换的使用条件：

显然只要满足了这个条件, 那么x就可以取到开圆里的任意一个点.

详细的证明见下图:[4]

 许召春.关于利用极坐标换元法求二重极限的思考[J].科技信息,2009(31):243.

现在我们重新看一下开头的那道例题, 究竟是哪里出现了问题呢?

错解

练习1

第一步, 极坐标代换, 化简.

第二步, 检查 能否任意取值, 若能, 得到答案; 若不能, 取特殊曲线得出重极限不存在.

参考

 原文来自 ——

求二重极限时, 极坐标代换究竟该怎么用? - 知乎