一个数是虚数，意思是它的平方是一个负数

i 0 、 i 1 、 i 2 、 i 3 、 i 4 ⋯   1 、 i 、 − 1 、 − i 、 1 ⋯ i^0、i^1、i^2、i^3、i^4 \cdots\\ ~\\ 1、i、-1、-i、1\cdots i0、i1、i2、i3、i4⋯ 1、i、−1、−i、1⋯ 四个（ 1 、 i 、 − 1 、 − i 1、i、-1、-i 1、i、−1、−i）为一个周期

复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi 实部 R e ( z ) = x Re(z)=x Re(z)=x 虚部 I m ( z ) = y Im(z)=y Im(z)=y

复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi 的共轭复数 z ˉ = x − y i \bar{z}=x-yi zˉ=x−yi 复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi 的模 ∣ z ∣ = ∣ x + y i ∣ = x 2 + y 2 |z|=|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2} ∣z∣=∣x+yi∣=x2+y2 ​

z z ˉ = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 − a b i + a b i − b 2 i 2 = a 2 + b 2 = ∣ z ∣ 2 z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2=a^2+b^2=|z|^2 zzˉ=(a+bi)(a−bi)=a2−abi+abi−b2i2=a2+b2=∣z∣2

复指数函数 e z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! ( 其中 z = x + y i ) e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\quad ( 其中z=x+yi ) ez=n=0∑∞​n!zn​(其中z=x+yi) e z e w = e z + w e^ze^w=e^{z+w} ezew=ez+w

将每个点看作一个复数，而不是一对实数 笛卡尔坐标系中点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 在复平面中用一个复数 z = x + i y z=x+iy z=x+iy 表示

复平面内极坐标为 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ) 的点表示的复数是什么？

对于不在单位圆上的点，只需乘以 r r r

如果 z z z 由极坐标系下的点 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ) 表示，则 z = r cos ⁡ ( θ ) + i r sin ⁡ ( θ ) z=r\cos(\theta)+ir\sin(\theta) z=rcos(θ)+irsin(θ)，由欧拉等式， z = r e i θ z=re^{i\theta} z=reiθ

e i θ e^{i\theta} eiθ 关于 θ \theta θ 是周期的，且周期为 2 π 2\pi 2π 例如： e i ( 3 π 2 ) = e i ( − π 2 ) e^{i(\frac{3\pi}{2})}=e^{i(-\frac{\pi}{2})} ei(23π​)=ei(−2π​)

复数 z z z 的极坐标形式也被称为模-辐角式 复数的模 ∣ z ∣ = ∣ x + y i ∣ = x 2 + y 2 |z|=|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2} ∣z∣=∣x+yi∣=x2+y2 ​ 角 θ \theta θ 称为 z z z 的辅角，写为 a r g ( z ) arg(z) arg(z)【 0 ≤ a r g ( z ) < 2 π 0\leq arg(z) \lt 2\pi 0≤arg(z)