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Introduction to Solid State Physics[1]
第 5 章 声子(II): 热学性质
声子对晶体比热容的贡献称为晶格比热容(lattice heat capacity,
)
德拜
律
低温下，只有具有
的长波声学声子才能有效热激发，即激发模式最大能量
，能有效激发的声子波矢
波矢空间内被激发的声子模式数
，即
晶体内能U由声子模式数量和单个模式能量决定，则低温下
晶格热容
德拜截止波矢
，即与格矢量相当
德拜温度
满足
爱因斯坦模型不考虑声子色散关系，将晶格振动简化为单频
的谐振子系统，则声子能量为
，考虑到声学声子和光学声子特性，爱因斯坦模型无法给出低温下德拜
规律，但常常用于近似描述声子谱的光学声子部分。
范霍夫奇点(Van Hove Singularity)
声子群速度
声子态密度
时，
产生奇点，称为范霍夫奇点
[2]范霍夫奇点直接影响电子跃迁，对晶体电学和热学性质起着突出作用，表现为吸收发射光谱上出现尖峰。理论上，一个靠近费米能级的范霍夫奇点会增加费米能级处的电子态密度，增强传统超导材料的超导性。
非谐(unharmonic)晶体相互作用
晶格势能存在非谐项：三次项及更高项，引起非谐效应以三声子过程为例，一个周期性弹性应变(即一个声子模式)，通过非谐相互作用对晶体的弹性常量产生空间和时间上的调制；第二个声子会感受到这种弹性常量的调制作用，从而受到散射，产生第三个声子：
晶格势能三次项代表原子之间排斥作用的非对称性，是热膨胀的由来；四次项代表大振幅下振动的软化
导热性
与电导率类似，热导率反映材料在传输热能的能力，热量传输驱动力为温度梯度，有限热导对应有限热阻，为确定热导率热阻率，晶体中必须存在可以使得声子分布局域热平衡的作用机制。如果不存在这种机制，则声子传播过程只携带能量，而不受温度梯度影响，热阻为零，热导率无穷大，与超导类似。采用声子气体理论，声子热导
，
是声子平均自由程
声子平均自由程
取决于几何散射和声子间散射
几何散射：晶体边界、晶格缺陷、化学杂质、非晶结构、同位素质量分布等引起的散射若只有单声子弹性碰撞无法建立热平衡，因为散射入射声子能量相等
，始终只涉及单一模式声子
三声子碰撞过程：
不会改变声子气体总动量，也就是此碰撞下声子气体在晶体内漂移速度守恒，不受三声子碰撞的干扰，无法建立热平衡。该过程对应
的碰撞过程，也称正常过程(normal processes)或N过程
派尔斯(Peierls)发现的倒逆过程(umklapp processes)或U过程对热阻率起重要作用，能建立起热平衡U过程形式为
，满足能量守恒
，该过程中，每一次碰撞都伴随着净声子动量显著改变，多次碰撞使得净声子通量迅速衰减为零，必须有足够的温度梯度才能驱动能量传输
声子模式和数量均与温度有关，声子平均自由程是由U过程平均自由程决定的，与N过程无关个人理解：单声子碰撞和N过程结合，就能够实现对净声子动量的改变，这也应该是几何散射的作用机制U过程[3]需要声子动量大小
，即声子能量
，意味着能够发生U过程的声子需具有足够的动量，足够的能量
低温下，能够发生U过程的声子数大致依照
规律急剧下降，U过程被冻结，发生几率很低，声子间以N过程碰撞为主，平均自由程分析应着重考虑几何散射，声子平均自由程较长。
高温下，所有模式声子均被激发，被激发声子总数
，U过程碰撞几率
声子浓度，平均自由程
，故热导率
参考资料
[1] Introduction to Solid State Physics: C.基泰尔《固体物理导论》第8版
[2] https://www.zhihu.com/question/327655525 : 范霍夫奇点
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/26643756 : U过程
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