多元线性回归是回归分析中的一种复杂模型，它考虑了多个输入变量对输出变量的影响。与一元线性回归不同，多元线性回归通过引入多个因素，更全面地建模了系统关系。

在这篇文章中，我们将深入研究多元线性回归的原理，包括模型构建和参数估计方法。与一元线性回归相比，多元线性回归具有更高的预测和解释能力，可以更准确地捕捉各个因素对输出的复杂影响。

我们将讨论如何理解和解释多元线性回归的结果，并介绍在实际应用中如何利用这一模型进行数据分析和预测。通过深入学习多元线性回归，读者将能够更好地利用这一强大的工具，取得更准确和有力的分析结果。

多元线性回归模型的表达式为： f ( x ) = k T x + b f(\mathbf{x})=\mathbf{k^T}\mathbf{x}+b f(x)=kTx+b 其中， x \mathbf{x} x为输入向量，包含多个特征（自变量）； f ( x ) f(\mathbf{x}) f(x)为模型的输出或响应（预测的目标变量）； k T \mathbf{k^T} kT为特征权重； b b b为是模型的截距或偏置；我们的目标是通过学习 k T \mathbf{k^T} kT和 b b b使得 f ( x ) f(\mathbf{x}) f(x)尽可能的接近真实观测值 y \mathbf{y} y。 为了方便计算和编程，我们可以将 b b b吸收进 x \mathbf{x} x和 k \mathbf{k} k中去，使得 y = k ^ T x ^ y=\mathbf{\hat k^T}\mathbf{\hat x} y=k^Tx^，因为： y = k T x + b × 1 y=\mathbf{k^T}\mathbf{x}+b\times1 y=kTx+b×1 展开可得： y = k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k d x d + b × 1 y=k_1x_1+k_2x_2+...+k_dx_d+b\times1 y=k1​x1​+k2​x2​+...+kd​xd​+b×1 我们重新令 X = ( x , 1 ) = [ x 1 , x 2 , . . . , x d , 1 ] \mathbf{X}=(\mathbf{x},1)=[x_1,x_2,...,x_d,1] X=(x,1)=[x1​,x2​,...,xd​,1] k ^ = ( k , b ) = [ k 1 , k 2 , . . . , k d , b ] \mathbf{\hat k}=(\mathbf{k},b)=[k_1,k_2,...,k_d,b] k^=(k,b)=[k1​,k2​,...,kd​,b] 从而得到 y = k ^ T X y=\mathbf{\hat k^T}\mathbf{X} y=k^TX。这样的变形使得模型表达更为简洁，同时不影响其表达能力。

为了衡量模型的性能，我们引入均方误差 J ( k ^ ) : J(\mathbf{\hat k}): J(k^): J ( k ^ ) = ( y − X k ^ ) T ( y − X k ^ ) J(\mathbf{\hat k})=(\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\hat k})^T(\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\hat k}) J(k^)=(y−Xk^)T(y−Xk^) 我们的优化目标是最小化均方误差，即：

E ( k ^ ⋆ ) = a r g ( k ^ ) m i n ( y − X k ^ ) T ( y − X k ^ ) E(\mathbf{\hat k}^\star)=arg_{(\mathbf{\hat k})}min(\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\hat k})^T(\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\hat k}) E(k^⋆)=arg(k^)​min(y−Xk^)T(y−Xk^)

通过最小二乘法，我们对均方误差函数分别对 k ^ \mathbf{\hat k} k^求导数，令其等于零，得到优化的解： ∂ ∂ k ^ E ( k ^ ) = 2 X T ( X k ^ − y ) = 0 \frac{\partial}{\partial \mathbf{\hat k}} E(\mathbf{\hat k})=2\mathbf{X^T(X\hat k-y)}=0 ∂k^∂​E(k^)=2XT(Xk^−y)=0 整理并得到：

我们可以把线性模型简写为： y = k T x + b \mathbf{y}=\mathbf{k^T}\mathbf{x}+b y=kTx+b 若模型假设因变量（或称响应变量）的自然对数与自变量之间存在线性关系。通常，对数线性回归的模型可以写成： l n y = k T x + b ln\mathbf{y}=\mathbf{k^T}\mathbf{x}+b lny=kTx+b 现在我们算 y = e k T x + b \mathbf{y}=e^{\mathbf{\mathbf{k^T}\mathbf{x}+b}} y=ekTx+b 实际上是通过 e k T x + b e^{\mathbf{\mathbf{k^T}\mathbf{x}+b}} ekTx+b来逼近 y \mathbf{y} y，在形式上 l n y = k T x + b ln\mathbf{y}=\mathbf{k^T}\mathbf{x}+b lny=kTx+b仍然是线性回归。 更一般的考虑任意单调可微函数 g ( ⋅ ) g(\cdot) g(⋅)，令 y = g − 1 ( k T x + b ) y=g^{-1}(k^Tx+b) y=g−1(kTx+b) 其中函数 g ( ⋅ ) g(\cdot) g(⋅)称为联系函数， g − 1 ( ⋅ ) g^{-1}(\cdot) g−1(⋅)为 g g g的反函数，显然对数线性回归是一种广义线性模型的特例。

在数学和函数空间理论中，范数是对向量空间中的向量进行度量或测量的一种方法。范数满足一些基本的性质，通常表示为 ∥ v ∥ \|{\mathbf{v}}\| ∥v∥ ，其中 v \mathbf{v} v是向量。 一般来说，一个范数是一个非负的标量函数，对于每个向量 v \mathbf{v} v ，满足以下条件：

岭回归是一种用于处理多重共线性问题的线性回归方法。多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性的情况，这可能导致普通最小二乘法估计的不稳定性和过拟合问题。岭回归通过在损失函数中引入正则化项，有效地解决了这些问题。 岭回归的优化目标是最小化以下损失函数： L ( k ^ ) = ( y − X k ^ ) T ( y − X k ^ ) + α ∥ k ^ ∥ 2 2 L(\hat{\mathbf{k}})=(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{k}})^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{k}})+\alpha\|\hat{\mathbf{k}}\|_2^2 L(k^)=(y−Xk^)T(y−Xk^)+α∥k^∥22​ 其中 α \alpha α是岭回归引入的正则化参数，正则化项 α ∥ k ^ ∥ 2 2 \alpha\|\hat{\mathbf{k}}\|_2^2 α∥k^∥22​是 L 2 L_2 L2​范式的平方，也称为岭回归的平方惩罚。它惩罚回归系数的平方和，使得系数趋向于较小的值，从而减缓过拟合问题。 最小化损失函数的解可以通过对损失函数关于 k ^ \hat{\mathbf{k}} k^的梯度等于零来得到。令梯度为零，得到岭回归的正规方程： ( X T X + α E ) k ^ = X T y \left(\mathbf{X}^T \mathbf{X}+\alpha \mathbf{E}\right) \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{X}^T \mathbf{y} (XTX+αE)k^=XTy

岭回归的解可以通过以下方式得到： k ^ ⋆ = ( X T X + α E ) − 1 X T y \hat{\mathbf{k}}^{\star}=\left(\mathbf{X}^T \mathbf{X}+\alpha \mathbf{E}\right)^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y} k^⋆=(XTX+αE)−1XTy 其中 ∣ X T X ∣ = 0 |\mathbf{X}^T \mathbf{X}|=0 ∣XTX∣=0，那么 ∣ X T X + α E ∣ ≠ 0 |\mathbf{X}^T \mathbf{X+\alpha E}|\neq0 ∣XTX+αE∣=0，故可知 ( X T X + α E ) (\mathbf{X}^T \mathbf{X+\alpha E}) (XTX+αE)可逆。 最终得到多元线性回归模型： f ( y ^ i ) = x ^ i ( X T X + α E ) − 1 X T y f(\mathbf{\hat y_i})=\mathbf{\hat x_i}\left(\mathbf{X}^T \mathbf{X}+\alpha \mathbf{E}\right)^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y} f(y^​i​)=x^i​(XTX+αE)−1XTy

套索回归是一种用于处理线性回归模型的正则化方法，类似于岭回归。套索回归通过在损失函数中引入 L 1 L_1 L1​范数正则化项，有助于推动回归系数向零，从而实现特征的稀疏性（某些特征的系数变为零）。 套索回归的优化目标是最小化以下损失函数： L ( k ^ ) = ( y − X k ^ ) T ( y − X k ^ ) + α ∥ k ^ ∥ 1 L(\hat{\mathbf{k}})=(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{k}})^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{k}})+\alpha\|\hat{\mathbf{k}}\|_1 L(k^)=(y−Xk^)T(y−Xk^)+α∥k^∥1​ 其中 α \alpha α是套索回归引入的正则化参数，用于控制正则化项的强度，正则化项 α ∥ k ^ ∥ 1 \alpha\|\hat{\mathbf{k}}\|_1 α∥k^∥1​是 L 1 L_1 L1​范式，也称为套索回归的绝对值惩罚。它通过对回归系数的绝对值求和来推动系数向零。由于 L 1 L_1 L1​范数惩罚的特性，套索回归有助于实现特征的选择，即某些特征的系数变为零，从而达到降维和特征稀疏性的效果。 套索回归的解可以通过最小化损失函数来获得。通过对损失函数关于 k ^ \mathbf{\hat k} k^的梯度等于零，得到套索回归的正规方程： − 1 n X T ( y − X k ^ ) + α ⋅ sign ⁡ ( k ^ ) = 0 -\frac{1}{n} \mathbf{X}^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{k}})+\alpha \cdot \operatorname{sign}(\hat{\mathbf{k}})=0 −n1​XT(y−Xk^)+α⋅sign(k^)=0 其中 sign ⁡ ( k ^ ) \operatorname{sign}(\hat{\mathbf{k}}) sign(k^)是回归系数的符号函数。套索回归的解通常需要通过迭代方法（如坐标下降法）求解，因为没有直接的解析解。因为 L 1 L_1 L1​范数的非光滑性质，使得套索回归的优化问题不是光滑凸优化问题，梯度下降法并不是直接适用的方法。

Elastic Net是套索回归和岭回归的组合，它同时使用 L 1 L_1 L1​和 L 2 L_2 L2​正则化项。Elastic Net的损失函数可以写成： Loss ⁡ = MSE ⁡ + α ⋅ ( ρ ⋅ ∑ i = 1 n ∣ w i ∣ + 1 − ρ 2 ⋅ ∑ i = 1 n w i 2 ) \operatorname{Loss}=\operatorname{MSE}+\alpha \cdot\left(\rho \cdot \sum_{i=1}^n\left|w_i\right|+\frac{1-\rho}{2} \cdot \sum_{i=1}^n w_i^2\right) Loss=MSE+α⋅(ρ⋅i=1∑n​∣wi​∣+21−ρ​⋅i=1∑n​wi2​) 其中：

Elastic Net的优势在于：

综合 L 1 L_1 L1​和 L 2 L_2 L2​正则化的优点： Elastic Net同时考虑到 L 1 L_1 L1​和 L 2 L_2 L2​正则化的特点，可以在存在高度相关特征的情况下保持 L 2 L_2 L2​正则化的稳定性，并利用 L 1 L_1 L1​正则化进行特征选择。 处理多重共线性： 当数据集中存在多个高度相关的特征时，Elastic Net相对于套索回归具有更好的稳定性。

对数几率回归是一种用于解决二分类问题的统计学习方法。尽管名字中包含"回归"，但实际上它是一种分类算法，用于估计某个样本属于某个类别的概率。对数几率回归的基本原理是基于线性回归的形式，但通过使用对数几率函数将线性输出映射到概率空间。 对数几率回归的模型表达式如下： P ( Y = 1 ∣ X ) = 1 1 + e − ( X k ^ + b ) P(Y=1 \mid \mathbf{X})=\frac{1}{1+e^{-(\mathbf{X} \hat{k}+b)}} P(Y=1∣X)=1+e−(Xk^+b)1​ 其中 P ( Y = 1 ∣ X ) P(Y=1 \mid \mathbf{X}) P(Y=1∣X)是给定输入特征 X \mathbf{X} X条件下样本属于类别1的概率。 对数几率函数 f ( z ) = 1 1 + e − z f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} f(z)=1+e−z1​被称为sigmoid函数，用于将线性组合 X k ^ + b \mathbf{X} \hat{k}+b Xk^+b映射到0到1之间的概率值。 考虑二分类问题，设观测到的数据集为 { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x n , y n ) } \left\{\left(\mathbf{x}_1, y_1\right),\left(\mathbf{x}_2, y_2\right), \ldots,\left(\mathbf{x}_n, y_n\right)\right\} {(x1​,y1​),(x2​,y2​),…,(xn​,yn​)}，其中 x i \mathbf{x_i} xi​是输入特征， y i \mathbf{y_i} yi​是类别标签（0或1），对应着样本属于类别1的概率。 假设样本是独立同分布的，似然函数可以写成： L ( k ^ , b ) = ∏ i = 1 n P ( Y = y i ∣ x i ) y i ⋅ ( 1 − P ( Y = y i ∣ x i ) ) 1 − y i L(\hat{\mathbf{k}}, b)=\prod_{i=1}^n P\left(Y=y_i \mid \mathbf{x}_i\right)^{y_i} \cdot\left(1-P\left(Y=y_i \mid \mathbf{x}_i\right)\right)^{1-y_i} L(k^,b)=i=1∏n​P(Y=yi​∣xi​)yi​⋅(1−P(Y=yi​∣xi​))1−yi​ 其中， P ( Y = y i ∣ x i ) P\left(Y=y_i \mid \mathbf{x}_i\right) P(Y=yi​∣xi​)是对数几率函数。 为了方便计算，通常对似然函数取对数，得到对数似然函数： ℓ ( k ^ , b ) = ∑ i = 1 n [ y i log ⁡ ( P ( Y = 1 ∣ x i ) ) + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − P ( Y = 1 ∣ x i ) ) ] \ell(\hat{\mathbf{k}}, b)=\sum_{i=1}^n\left[y_i \log \left(P\left(Y=1 \mid \mathbf{x}_i\right)\right)+\left(1-y_i\right) \log \left(1-P\left(Y=1 \mid \mathbf{x}_i\right)\right)\right] ℓ(k^,b)=i=1∑n​[yi​log(P(Y=1∣xi​))+(1−yi​)log(1−P(Y=1∣xi​))] 极大似然估计的目标是最大化对数似然函数。通常使用梯度下降等优化算法来找到能最大化对数似然函数的参数 k ^ \mathbf{\hat k} k^和 b b b。 令 β = ( k ^ , b ) \beta=(\mathbf{\hat k},b) β=(k^,b)对数几率回归的优化问题可以写成： β ⋆ = a r g ( β ) m i n ℓ ( β ) \beta^\star=arg_{(\beta)}min\ell(\beta) β⋆=arg(β)​minℓ(β)

黑塞矩阵是一个包含一个标量函数的二阶偏导数的方块矩阵。对于一个具有多个变量的标量函数，黑塞矩阵包含该函数的所有二阶偏导数信息。在优化算法中，黑塞矩阵通常用于描述目标函数的曲率。 对于一个具有 n n n个变量的标量函数 f ( x ) f(x) f(x)，其中 x = [ x 1 , x 2 , . . . , x n ] \mathbf{x}=[x_1,x_2,...,x_n] x=[x1​,x2​,...,xn​]是变量向量，黑塞矩阵 H H H的元素为： H i j = ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j H_{i j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} Hij​=∂xi​∂xj​∂2f​ 黑塞矩阵的维度是 n × n n\times n n×n，其中 n n n是变量的数量。 在数学和优化理论中，黑塞矩阵提供了目标函数的局部二阶导数信息。对于优化算法，特别是牛顿法，黑塞矩阵被用于调整参数的更新步长，以更有效地收敛到函数的局部极小值。

在对数几率回归中，黑塞矩阵描述了对数似然函数的曲率，它的使用通常是为了加速收敛并提高算法的稳定性。然而，计算和存储大型黑塞矩阵可能会带来计算复杂性，因此在实际应用中，可能会使用黑塞矩阵的逆矩阵的近似值，或者采用拟牛顿方法。

本文全面探讨了多元线性回归及其在非满秩矩阵情况下的解决方案。广义线性模型的引入以及岭回归、套索回归的讨论进一步增强了对多元线性回归的理解和应用。对数几率回归作为处理非满秩矩阵的二分类问题的解决方案，为实际应用提供了有效的工具。总体而言，本文为读者提供了深入学习多元线性回归的基础，并为实际数据分析和预测提供了有力支持。

X T X \mathbf{X^TX} XTX满秩情况 以下是工人工作年限、年龄与对应薪水的数据集。

将 b b b吸收进 x \mathbf{x} x和 k \mathbf{k} k中去，使得 y = k ^ T x ^ y=\mathbf{\hat k^T}\mathbf{\hat x} y=k^Tx^

判断 X T X \mathbf{X^TX} XTX是否满秩。

输出结果：True，说明 X T X \mathbf{X^TX} XTX满秩，故直接有： k ^ ⋆ = ( X T X ) − 1 X T y \mathbf{\hat k}^\star=(\mathbf{X^TX})^{-1}\mathbf{X^Ty} k^⋆=(XTX)−1XTy

计算得出： k 1 = − 99.195355 k_1=-99.195355 k1​=−99.195355， k 2 = 2162.404192 k_2=2162.404192 k2​=2162.404192， b = 31261.689854 b=31261.689854 b=31261.689854。 故直线方程为 y = − 99.195355 x 1 + 2162.404192 x 2 + 31261.689854 y=-99.195355x_1+2162.404192x_2+31261.689854 y=−99.195355x1​+2162.404192x2​+31261.689854。

画出拟合曲线图

X T X \mathbf{X^TX} XTX满秩情况，且是回归问题。 以下数据集是房屋面积、房间数、卧室数量、浴室数量、车库空间、建造年份对应价格的数据集。

我们规定前4500条数据是训练集、后500条数据是测试集。

并且判断 X T X \mathbf{X^TX} XTX，输出结果：Is X_train.T * X_train full rank? False，不满秩！

得出 k ^ ⋆ = [ 1.84627067 , 2.76940446 , 4.40065163 , 4.13604178 , 0.84099326 , − 0.09549601 , − 7.83477733 ] \hat{\mathbf{k}}^{\star}=[ 1.84627067, 2.76940446, 4.40065163, 4.13604178, 0.84099326, -0.09549601, -7.83477733] k^⋆=[1.84627067,2.76940446,4.40065163,4.13604178,0.84099326,−0.09549601,−7.83477733]

散点图应该近似位于一条对角线上，说明模型性能良好。

最后比较一下两个策略的均方误差：

mse_test_lasso=387.3594633205649 brige_test_lasso=387.9778997027562 选择套索回归还是岭回归的因素：

elastic_net_lasso=385.770533673404 画出散点图

显然使用Elastic Net效果会更好。

X T X \mathbf{X^TX} XTX满秩情况，且是分类问题。 以下数据集是学生学习市场对应成绩（过于不过）的数据集。

根据提供的评估指标，该模型表现良好。

总体而言，该模型显示出较高的准确性，对两个类别（0 和 1）的区分能力强。在两个类别上，精确率和召回率都表现良好。加权平均值表明该模型在整个数据集上具有良好的泛化能力。