随机变量的统计性质可以由它的分布函数或概率密度刻画，类似地，平稳序列的统计性质可以由它的谱分布函数或谱密度函数刻画。平稳序列的谱分布函数是唯一存在的，但并不是所有的平稳序列都具有谱密度函数。

谱反映了平稳序列的相关结构。谱密度是将原始序列看成许多个不同频率的余弦波的叠加时，不同频率的振幅平方大小，谱密度越高的地方，对应的频率成分的振幅越大。

设平稳序列 { X t } \{X_t\} {Xt​} 有自协方差函数 { γ k } \{\gamma_k\} {γk​}

如果有 [ − π ,   π ] [-\pi,\,\pi] [−π,π] 上的单调不减右连续的函数 F ( λ ) F(\lambda) F(λ) ，使得 γ k = ∫ − π π e i k λ   d F ( λ )   ,      F ( − π ) = 0   ,      k ∈ Z , \gamma_k=\int_{-\pi}^\pi e^{ik\lambda}\,{\rm d}F(\lambda) \ , \ \ \ \ F(-\pi)=0\ , \ \ \ \ k\in\Z, γk​=∫−ππ​eikλdF(λ) ,    F(−π)=0 ,    k∈Z, 就称 F ( λ ) F(\lambda) F(λ) 是 { X t } \{X_t\} {Xt​} 或 { γ k } \{\gamma_k\} {γk​} 的谱分布函数。

如果有 [ − π ,   π ] [-\pi,\,\pi] [−π,π] 上的非负函数 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) ，使得 γ k = ∫ − π π f ( λ ) e i k λ   d λ   ,      k ∈ Z , \gamma_k=\int_{-\pi}^\pi f(\lambda)e^{ik\lambda}\,{\rm d}\lambda \ , \ \ \ \ k\in\Z, γk​=∫−ππ​f(λ)eikλdλ ,    k∈Z, 就称 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) 是 { X t } \{X_t\} {Xt​} 或 { γ k } \{\gamma_k\} {γk​} 的谱密度函数。

谱函数和谱密度之间具有如下的联系

如果 { X t } \{X_t\} {Xt​} 有谱密度 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) ，则 { X t } \{X_t\} {Xt​} 的谱函数就是变上限的积分 F ( λ ) = ∫ − π λ f ( s ) d s . F(\lambda)=\int_{-\pi}^\lambda f(s)ds. F(λ)=∫−πλ​f(s)ds. 如果 F ( λ ) F(\lambda) F(λ) 是连续函数，除去有限点外导函数存在且连续，则谱密度 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) 是 f ( λ ) = { F ′ ( λ )   , 当  F ′ ( λ )  存在 , 0   , 当  F ′ ( λ )  不存在  . f(\lambda)=\left\{ \begin{array}{ll} F'(\lambda)\ , & \text{当}\ F'(\lambda)\ \text{存在} ,\\ 0\ , & \text{当}\ F'(\lambda)\ \text{不存在}\ . \end{array} \right. f(λ)={F′(λ) ,0 ,​当 F′(λ) 存在,当 F′(λ) 不存在 .​

Herglotz 定理：平稳序列的谱函数是唯一存在的。

推论：平稳序列的谱密度如果存在，则在几乎处处的意义下是唯一的。

定理：实值平稳序列的谱密度是偶函数。 设 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) 是实值平稳序列 { X t } \{X_t\} {Xt​} 的谱密度，即证 f ( − λ ) = f ( λ ) f(-\lambda)=f(\lambda) f(−λ)=f(λ) ，从而有 C o v ( X t ,   X t + k ) = 2 ∫ 0 π cos ⁡ ( k λ ) f ( λ )   d λ   ,      k = 0 , 1 , 2 , . . . {\rm Cov}(X_t,\,X_{t+k})=2\int_0^\pi\cos(k\lambda)f(\lambda)\,{\rm d}\lambda \ , \ \ \ \ k=0,1,2,... Cov(Xt​,Xt+k​)=2∫0π​cos(kλ)f(λ)dλ ,    k=0,1,2,...

根据谱密度的定义，可以写出 γ − k \gamma_{-k} γ−k​ 的表达式 γ − k = ∫ − π π f ( λ ) e − i k λ   d λ = t = − λ ∫ − π π f ( − t ) e i k t   d t = ∫ − π π f ( − λ ) e i k λ   d λ \gamma_{-k}=\int_{-\pi}^\pi f(\lambda)e^{-ik\lambda}\,{\rm d}\lambda\xlongequal{t=-\lambda}\int_{-\pi}^\pi f(-t)e^{ikt}\,{\rm d}t=\int_{-\pi}^\pi f(-\lambda)e^{ik\lambda}\,{\rm d}\lambda γ−k​=∫−ππ​f(λ)e−ikλdλt=−λ ∫−ππ​f(−t)eiktdt=∫−ππ​f(−λ)eikλdλ 由于 γ − k = γ k \gamma_{-k}=\gamma_k γ−k​=γk​ ，所以 γ k = ∫ − π π f ( − λ ) e i k λ   d λ \gamma_k=\int_{-\pi}^\pi f(-\lambda)e^{ik\lambda}\,{\rm d}\lambda γk​=∫−ππ​f(−λ)eikλdλ 由 Herglotz 定理知平稳序列的谱密度若存在，则几乎处处唯一。因此 f ( − λ ) f(-\lambda) f(−λ) 也是 { X t } \{X_t\} {Xt​} 的谱密度，即 f ( − λ ) = f ( λ ) f(-\lambda)=f(\lambda) f(−λ)=f(λ) ，所以 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) 是偶函数。

因此有 f ( λ ) = 1 2 ( f ( λ ) + f ( − λ ) ) f(\lambda)=\frac{1}{2}(f(\lambda)+f(-\lambda)) f(λ)=21​(f(λ)+f(−λ)) 于是 C o v ( X t ,   X t + k ) = γ k = 1 2 ∫ − π π ( f ( λ ) + f ( − λ ) ) e i k λ   d λ = 1 2 ( ∫ − π π f ( λ ) e i k λ   d λ + ∫ − π π f ( λ ) e − i k λ   d λ ) = 1 2 ∫ − π π f ( λ ) ( e i k λ + e − i k λ )   d λ = ∫ − π π cos ⁡ ( k λ ) f ( λ )   d λ = 2 ∫ 0 π cos ⁡ ( k λ ) f ( λ )   d λ . \begin{aligned} {\rm Cov}(X_t,\,X_{t+k})=\gamma_k&=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi (f(\lambda)+f(-\lambda))e^{ik\lambda}\,{\rm d}\lambda\\ &=\frac{1}{2}(\int_{-\pi}^\pi f(\lambda)e^{ik\lambda}\,{\rm d}\lambda+\int_{-\pi}^\pi f(\lambda)e^{-ik\lambda}\,{\rm d}\lambda) \\ &=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi f(\lambda)(e^{ik\lambda}+e^{-ik\lambda})\,{\rm d}\lambda \\ &=\int_{-\pi}^\pi\cos(k\lambda)f(\lambda)\,{\rm d}\lambda \\ &=2\int_0^\pi\cos(k\lambda)f(\lambda)\,{\rm d}\lambda. \end{aligned} Cov(Xt​,Xt+k​)=γk​​=21​∫−ππ​(f(λ)+f(−λ))eikλdλ=21​(∫−ππ​f(λ)eikλdλ+∫−ππ​f(λ)e−ikλdλ)=21​∫−ππ​f(λ)(eikλ+e−ikλ)dλ=∫−ππ​cos(kλ)f(λ)dλ=2∫0π​cos(kλ)f(λ)dλ.​

如果 { ϵ t } \{\epsilon_t\} {ϵt​} 是 W N ( 0 ,   σ 2 ) {\rm WN}(0,\,\sigma^2) WN(0,σ2) ，则 { ϵ t } \{\epsilon_t\} {ϵt​} 的自协方差函数为 γ k = σ 2 δ k   ,      k ∈ Z . \gamma_k=\sigma^2\delta_k \ , \ \ \ \ k\in\Z. γk​=σ2δk​ ,    k∈Z. 容易验证令 f ( λ ) = σ 2 2 π   ,      λ ∈ [ − π ,   π ] f(\lambda)=\frac{\sigma^2}{2\pi}\ , \ \ \ \ \lambda\in[-\pi,\,\pi] f(λ)=2πσ2​ ,    λ∈[−π,π] 有 γ k = ∫ − π π f ( λ ) e i k λ   d λ   ,      k ∈ Z \gamma_k=\int_{-\pi}^\pi f(\lambda)e^{ik\lambda}\,{\rm d}\lambda \ , \ \ \ \ k\in\Z γk​=∫−ππ​f(λ)eikλdλ ,    k∈Z 事实上， { ϵ t } \{\epsilon_t\} {ϵt​} 是白噪声的充分必要条件是其谱密度 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) 为非零常数。

如果 { ϵ t } \{\epsilon_t\} {ϵt​} 是 W N ( 0 ,   σ 2 ) {\rm WN}(0,\,\sigma^2) WN(0,σ2) ，实数列 { a j } \{a_j\} {aj​} 平方可和，则线性平稳序列 X t = ∑ j = − ∞ ∞ a j ϵ t − j   ,      t ∈ Z X_t=\sum_{j=-\infty}^\infty a_j\epsilon_{t-j} \ , \ \ \ \ t\in\Z Xt​=j=−∞∑∞​aj​ϵt−j​ ,    t∈Z 有谱密度 f ( λ ) = σ 2 2 π ∣ ∑ j = − ∞ ∞ a j e i j λ ∣ 2 . f(\lambda)=\dfrac{\sigma^2}{2\pi}\left|\sum_{j=-\infty}^\infty a_je^{ij\lambda}\right|^2. f(λ)=2πσ2​∣∣∣∣∣​j=−∞∑∞​aj​eijλ∣∣∣∣∣​2. 特别地，对于白噪声序列，令 a j = δ j = { 1   , j = 0 0   , j ≠ 0 a_j=\delta_j=\left\{ \begin{array}{ll} 1\ , & j=0 \\ 0\ , & j\neq 0 \end{array} \right. aj​=δj​={1 ,0 ,​j=0j​=0​ ，

即可得到零均值白噪声 W N ( 0 ,   σ 2 ) {\rm WN}(0,\,\sigma^2) WN(0,σ2) 的谱密度 f ( λ ) = σ 2 2 π f(\lambda)=\dfrac{\sigma^2}{2\pi} f(λ)=2πσ2​

设 { X t } \{X_t\} {Xt​} 是平稳序列， H = { h j } H=\{h_j\} H={hj​} 是绝对可和的保时线性滤波器， { Y t } \{Y_t\} {Yt​} 为输出过程 Y t = ∑ j = − ∞ ∞ h j X t − j   ,      t ∈ Z , Y_t=\sum_{j=-\infty}^\infty h_jX_{t-j} \ , \ \ \ \ t\in\Z, Yt​=j=−∞∑∞​hj​Xt−j​ ,    t∈Z, H ( z ) H(z) H(z) 是滤波器 H H H 的特征多项式 H ( z ) = ∑ j = − ∞ ∞ h j z j   ,      ∣ z ∣ ≤ 1. H(z)=\sum_{j=-\infty}^\infty h_jz^j \ , \ \ \ \ |z|\leq1. H(z)=j=−∞∑∞​hj​zj ,    ∣z∣≤1. 如果 { X t } \{X_t\} {Xt​} 有谱函数 F X ( λ ) F_X(\lambda) FX​(λ) ，则 { Y t } \{Y_t\} {Yt​} 有谱函数 F Y ( λ ) = ∫ − π λ ∣ H ( e − i s ) ∣ 2   d F X ( s ) . F_Y(\lambda)=\int_{-\pi}^\lambda\left|H(e^{-is})\right|^2\,{\rm d}F_X(s). FY​(λ)=∫−πλ​∣∣​H(e−is)∣∣​2dFX​(s). 如果 { X t } \{X_t\} {Xt​} 有谱密度 f X ( λ ) f_X(\lambda) fX​(λ) ，则 { Y t } \{Y_t\} {Yt​} 有谱密度 f Y ( λ ) = ∣ H ( e − i s ) ∣ 2 f X ( λ ) . f_Y(\lambda)=\left|H(e^{-is})\right|^2f_X(\lambda). fY​(λ)=∣∣​H(e−is)∣∣​2fX​(λ).

已经证明过输出过程的自协方差函数为 γ Y ( k ) = ∑ j = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ h l h j γ X ( k + l − j ) \gamma_Y(k)=\sum_{j=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty h_lh_j\gamma_X(k+l-j) γY​(k)=j=−∞∑∞​k=−∞∑∞​hl​hj​γX​(k+l−j) 由绝对收敛性和控制收敛定理， γ Y ( k ) = ∑ j = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ h l h j ∫ − π π e i ( k + l − j ) λ   d F X ( λ ) = ∫ − π π ∑ j = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ h l h j e i ( l − j ) λ e i k λ   d F X ( λ ) = ∫ − π π ∣ ∑ j = − ∞ ∞ h j e − i j λ ∣ 2 e i k λ   d F X ( λ ) = ∫ − π π ∑ j = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ h l h j e i ( l − j ) λ e i k λ   d F X ( λ ) = ∫ − π π ∣ H ( e − i λ ) ∣ 2 e i k λ   d F X ( λ ) \begin{aligned} \gamma_Y(k) &=\sum_{j=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty h_lh_j\int_{-\pi}^\pi e^{i(k+l-j)\lambda}\,{\rm d}F_X(\lambda) \\ &=\int_{-\pi}^\pi\sum_{j=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty h_lh_je^{i(l-j)\lambda}e^{ik\lambda}\,{\rm d}F_X(\lambda) \\ &=\int_{-\pi}^\pi\left|\sum_{j=-\infty}^\infty h_je^{-ij\lambda}\right|^2e^{ik\lambda}\,{\rm d}F_X(\lambda) \\ &=\int_{-\pi}^\pi\sum_{j=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty h_lh_je^{i(l-j)\lambda}e^{ik\lambda}\,{\rm d}F_X(\lambda) \\ &=\int_{-\pi}^\pi\left|H(e^{-i\lambda})\right|^2e^{ik\lambda}\,{\rm d}F_X(\lambda) \end{aligned} γY​(k)​=j=−∞∑∞​k=−∞∑∞​hl​hj​∫−ππ​ei(k+l−j)λdFX​(λ)=∫−ππ​j=−∞∑∞​k=−∞∑∞​hl​hj​ei(l−j)λeikλdFX​(λ)=∫−ππ​∣∣∣∣∣​j=−∞∑∞​hj​e−ijλ∣∣∣∣∣​2eikλdFX​(λ)=∫−ππ​j=−∞∑∞​k=−∞∑∞​hl​hj​ei(l−j)λeikλdFX​(λ)=∫−ππ​∣∣​H(e−iλ)∣∣​2eikλdFX​(λ)​ 因此 d F Y ( λ ) = ∣ H ( e − i λ ) ∣ 2   d F X ( λ ) . {\rm d}F_Y(\lambda)=\big|H(e^{-i\lambda})\big|^2\,{\rm d}F_X(\lambda). dFY​(λ)=∣∣​H(e−iλ)∣∣​2dFX​(λ). 得到 { Y t } \{Y_t\} {Yt​} 的谱函数 F Y ( λ ) = ∫ − π λ ∣ H ( e − i s ) ∣ 2   d F X ( s ) . F_Y(\lambda)=\int_{-\pi}^\lambda\left|H(e^{-is})\right|^2\,{\rm d}F_X(s). FY​(λ)=∫−πλ​∣∣​H(e−is)∣∣​2dFX​(s). 当 { X t } \{X_t\} {Xt​} 有谱密度 f X ( λ ) f_X(\lambda) fX​(λ) 时 F Y ( λ ) = ∫ − π λ ∣ H ( e − i s ) ∣ 2 f X ( s )   d s . F_Y(\lambda)=\int_{-\pi}^\lambda\left|H(e^{-is})\right|^2f_X(s)\,{\rm d}s. FY​(λ)=∫−πλ​∣∣​H(e−is)∣∣​2fX​(s)ds. 得到 { Y t } \{Y_t\} {Yt​} 的谱密度 f Y ( λ ) = ∣ H ( e − i s ) ∣ 2 f X ( λ ) . f_Y(\lambda)=\left|H(e^{-is})\right|^2f_X(\lambda). fY​(λ)=∣∣​H(e−is)∣∣​2fX​(λ).