假如 向量a 为（x1, y1），向量b为(x2, y2) 点积（也叫内积）结果 为 x1 * x2 + y1 * y2 = |a||b| cos，可以理解为向量a在向量b上投影的长度乘以向量b的长度。 叉积（也叫外积）的模为 x1 * y2 - x2 * y1 = |a||b| sin，可以理解为平行四边形的有向面积（三维以上为体积）。外积的方向垂直于这两个方向。

作者：信徒 链接：https://www.zhihu.com/question/21080171/answer/1715138895 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。  

1. 点乘（dot product）

又叫内积/数量积，记作 （也有人习惯写作 ），点乘的结果是个标量(scalar)，它的几何意义是 向量a在向量b上的投影长度 乘以 向量b的长度，计算公式如下

点乘公式常被用于：

a. 衡量两个向量的相似度，两个向量越相似，点乘结果越大；

b. 计算两个向量的夹角 ；

c. 判断两个向量的正交性，

时两个向量正交，也就是 时两个向量正交；

时两个向量同向，夹角在0到90度；

时两个向量反向，夹角在90到180度。

d. 实现线性变换（也就是把数据投影到特征空间）。比如向量b作为基向量（线性的特征空间），把数据a投影到特征空间b中得到投影后的数据 。

2. 叉乘（cross product）

又叫外积/向量积，记作 ，注意叉乘的结果是个向量(vector)，所以它有方向(direction)和模长(magnitude)，计算方式如下

方向+模长： ,推导如下

方向：根据右手定则确定人类的感官方向，但是高维度时就需要使用上面的向量表示

模长：

叉乘公式常被用于：

a. 求解向量a和向量b构成平面的法向量 ，

b. 利用叉乘生成z轴，构建坐标系

c. 计算点到线的距离，假设原点为 ， , ，则点A到直线OB的距离

d. 确定平面方程并计算点到面的距离，假设原点为 ， , ，则点C到向量a和向量b构成的平面间的距离求解如下：

先求解平面的法向量 ，

然后求解平面方程为 （ 通过代入A或B得到），

最后点面距离为

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