Creative Education Studies Vol. 12  No. 01 ( 2024 ), Article ID: 79471 , 10 pages 10.12677/CES.2024.121014

材料弹性常数关系推导在材料力学教学中的 应用研究

易利军1，张田忠2*

1宁波大学机械工程与力学学院，浙江 宁波

2上海大学力学与工程科学学院，上海

收稿日期：2023年11月14日；录用日期：2024年1月8日；发布日期：2024年1月18日

摘要

弹性模量、剪切模量和泊松比等弹性常数是材料力学和弹性力学中重要的知识点，也是后续力学课程学习的基础。各向同性线弹性材料只有两个独立的弹性常数，因此其弹性模量、剪切模量和泊松比之间具有直接关联关系。在力学基础教学中充分利用这一关系的不同推导方法，可将相关力学知识串联融合，加深学生的理解，同时也可拓展教师授课的深度和广度。鉴于此，本文分别梳理了在单向拉伸应力状态、纯剪切应力状态和一般应力状态下各向同性材料弹性常数之间关系的多种推导方法，并揭示了该关系式实质上是各向同性线弹性体弹性完全对称性的反映，以丰富教学素材，培养学生举一反三的创新实践能力。

关键词

材料力学，弹性常数，弹性模量，剪切模量，泊松比

Research on the Application of Deriving the Relationship between Elastic Constants of Materials in the Teaching of Mechanics of Materials

Lijun Yi1, Tienchong Chang2*

1Faculty of Mechanical Engineering and Mechanics, Ningbo University, Ningbo Zhejiang

2School of Mechanics and Engineering Science, Shanghai University, Shanghai

Received: Nov. 14th, 2023; accepted: Jan. 8th, 2024; published: Jan. 18th, 2024

ABSTRACT

Elastic constants such as elastic modulus, shear modulus, and Poisson’s ratio are important knowledge points in the mechanics of materials and elasticity, and are also the foundation for subsequent mechanics courses. Isotropic linear elastic materials have only two independent elastic constants, so there is a relation between the elastic modulus, shear modulus, and Poisson’s ratio. By fully utilizing the different derivation methods of this relationship in basic mechanics teaching, relevant mechanical knowledge can be connected and integrated. This can deepen students’ understanding, and also expand the depth and breadth of teachers’ teaching. In view of this, this article summarizes various derivation methods for the relationship between the elastic constants of isotropic materials under different conditions such as uniaxial tensile stress state, pure shear stress state, and general stress state, and reveals that the relation between the elastic modulus, shear modulus, and Poisson’s ratio is essentially a reflection of the full symmetry of the isotropic linear elasticity, which can enrich teaching materials and cultivate students’ innovative practical ability.

Keywords:Mechanics of Materials, Elastic Constants, Elastic Modulus, Shear Modulus, Poisson’s Ratio

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1. 引言

弹性体的应力和应变之间通过弹性常数关联。常用的弹性常数有弹性模量E、剪切模量G和泊松比ν等，是材料力学和弹性力学等力学课程中的核心基本概念，对后续塑性力学、断裂力学、复合材料力学和机械设计等一系列力学及相关课程内容的理解也非常重要。各向同性线弹性材料只有两个独立的弹性常数，因此弹性模量、剪切模量和泊松比三者之间存在必然的联系，通常表示为：

G = E 2 ( 1 + ν ) (1)

一些工科类的工程力学和弹性力学教程对这一关系不作推导，直接给出。面向力学专业的材料力学教材中，一般将这一关系的推导放在复杂应力章节介绍。尽管推导该关系式对力学初学者有一定难度，但可以加深其对应力、应变、弹性常数等概念的理解，也有利于提高其解决问题的综合能力，激发其探究意识和创新思维。因此，在材料力学教学中适时引入这一关系的推导，可提升课程内容的深度和广度，加强课程学习的挑战性和研究性。

鉴于此，本文系统梳理了多种推导弹性模量、剪切模量和泊松比之间关系的方法，由浅入深、从特殊到一般，并以推导过程为纽带，尽量将相关知识点融合串联起来，力图引导学生在推导过程中对所学知识举一反三、融会贯通。对应材料力学知识体系，文章分别在单向拉伸应力状态、纯剪切应该状态和一般应力状态进行弹性常数关系式的推导。第2节单向拉伸应力状态与第3节纯剪切应该状态下，都首先给出基于力平衡与几何关系分析的推导，便于初学者理解且物理意义清晰；后续的推导方法需要学习复杂应力状态、应变能密度和胡克定律。在第4节，在一般应力状态下推导出三个弹性常数关系式。

2. 在单向拉伸应力状态下推导

单向拉伸应力状态是学生最早接触也是最简单的应力状态。在此状态下推导弹性常数间的关系，可巩固学生对正应力和正应变、切应力和切应变、斜截面上的应力、泊松效应以及简单应力状态下的胡克定律等知识的理解。

Figure 1. (a) Uniaxial tensile stress state; (b) 45˚ direction element

图1. (a) 单向拉伸应力状态；(b) 45˚方向微元体

取坐标系如图1(a)所示。单向拉伸应力状态下，微元体只有x (拉伸)方向存在正应力 σ x ，y方向正应力为零( σ y = 0 )，微元体上切应力为零( τ = 0 )。推导弹性常数的基本思路是利用45˚斜截面上(图1(b))的切应力( τ 45 ° )与单向拉伸正应力( σ x )关系(2)，以及45˚斜截面上切应变( γ 45 ° )与单向拉伸正应变( ε x )之间的关系(3)：

τ 45 ° = σ x 2 (2)

γ 45 ° = ( 1 + v ) ε x (3)

再将单向拉伸胡克定律 σ = E ε 、剪切胡克定律 τ = G γ 代入(2)与(3)，联立求得 1 / G = 2 ( 1 + v ) / E ，即三个弹性常数关系式(1)。

下文将给出关系式(2)、(3)的推导，其中2.1节和2.2节方法适合材料力学初学者，2.3和2.4节方法用到了复杂应力状态、应变能密度和广义胡克定律知识。

2.1. 分析法

首先用力平衡法推导45˚斜截面上的切应力与单向正应力之间的关系式(2)。取以x方向平面、y方向平面和45˚斜截面构成的三角形体元为研究对象(图1)，在45˚斜截面切向做力平衡分析，有 τ 45 ∘ 2 = σ x sin 45 ˚ ，简化即得到切应力与单向正应力关系(2)。

然后通过几何分析推导45˚斜截面上的切应变与单向正应变的关系(3) [1] 。如图2所示，假设边长为1的微元体在单向应力状态下，沿应力作用方向的单向正应变为 ε x 。由于泊松效应，垂直于单向应力方向的正应变为 − ν ε x 。根据切应变定义(直角的变化量)，45˚斜截面上的切应变可由下式计算：

γ 45 ° / 2 = π / 4 − arctan 1 − ν ε x 1 + ε x (4)

在小变形( ε x