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本文探讨数学竞赛（国际数学奥林匹克竞赛、普特南数学竞赛）与数学家的成长这两个命题之间的相关性。为此，作者本人查阅了近年在全球最顶尖的四大数学期刊上发文的作者背景材料，另外也查看了获得著名的近三十项全球（区域）性数学奖项当中的一项或几项的数学家背景材料，在对这些大量第一手英文材料进行汇总分析后终于写出本文。为方便读者阅读，本文分成四篇发表，分别是：前言（上）、前言（下）；正文（上）、正文（下）。

前言（上）

一、现代数学简述

数学既是一门艺术，也是一门科学。纯粹数学是它的核心, 它探索抽象概念，而且不一定描述真实的物理系统, 这可以包括开发数学家使用的基本工具，例如代数和微积分，以及描述多维空间或更好地理解数学和数字本身的哲学意义。纯粹数学探索数学和纯理性的边界,它被描述为“在没有明确或立即考虑直接应用的情况下完成的数学活动的一部分”，尽管在一个时代“纯粹”的东西往往在以后被应用, 比如金融和密码学领域就是纯数学发挥重大作用的例子。

现代数学在数论、群论与表示论、代数几何、微分几何学、拓扑学、复分析、泛函分析等基础数学领域，以及应用数学和计算数学的领域中，涌现了大量的新分支学科。其中尤其以数论、代数几何、微分几何、拓扑学和应用数学等领域表现得最为明显。

现代数学的主要分支，包括代数学、分析学和几何学。代数学主要分为线性代数、同调代数、交换代数、抽象代数、逻辑代数等; 分析学主要包括复变函数论、实变函数论、泛函分析、偏微分方程、调和分析等; 几何学又分为众多小分支, 比如微分几何、代数几何、微分拓扑、代数拓扑等。除这三大分支外, 其他的还有数论、拓扑学、离散数学、人工智能、图论、计算数学、理论计算机科学、统计学与概率论、流体力学、运筹学、计算生物学等。

（一）代数学

代数的传统研究对象是代数结构，如群、环和模。然而，过去几十年的发展越来越强调该学科与数学和科学其他领域的联系，例如数论、几何、拓扑、经典力学和量子场论、可积系统和理论计算科学。

在现代代数中，抽象方法用于研究所谓的离散结构。代数在数学、科学和工程领域有着悠久的重要应用历史，并且还因其内在美而被研究。随着计算机的出现，离散结构具有了新的重要性，代数方法变得越来越有用。

代数学有许多子领域，比如：

1. 同伦理论与同伦代数

代数拓扑学源于经典的点集拓扑，它产生的空间（以及它们之间的映射）代数不变量这个理论，被称之为＂同伦＂的自然等价概念。然而，近几十年来，这些思想已经渗透到数学和理论物理的许多其他领域，经常为处理老问题提供新的框架。抽象同伦理论为研究变形提供了一个通用的代数框架且又与范畴论的一般研究有很强的互动性。稳定同伦理论涉及同调和上同调理论的底层结构，通常通过对空间进行适当的泛化（称为谱）来实现，其中负维数是有意义的。

2. 同调不变量和分类

如何确定两个结是否具有本质的不同？一个好方法是产生一个代数不变量来区分它们。例如，琼斯多项式的霍瓦诺夫分类以二级同调理论的形式产生了三球面中链接的不变量。这在低维拓扑学中看到了一系列有趣的应用，同时为许多概括提供了一个出发点——现在涉及到同伦理论、规范场理论和物理学。但是，这些似乎只是冰山一角：分类在现在是代数几何和几何表示理论中必不可少的工具；反过来，通过提供一系列源自图解代数的新不变量，又继续反馈到低维拓扑中。

3. 几何群论。

几何群论通过将群的代数性质与它们作用的空间的拓扑和几何性质联系起来来研究群。该领域在二十世纪八十年代后期作为一个独特的领域出现，并与数学的其他分支有许多相互的联系，包括计算群论、低维拓扑、代数拓扑、双曲几何、李群及其离散子群的研究和 K 理论等。

（二）分析学

分析涉及某些数学对象（如数字或函数）的近似值，这些对象更容易理解或处理。比如微积分，就是来源于分析的一个主要思想——可微函数是线性函数的局部近似，正是三百年前的这个想法提供了分析的真正起点。与数学的其他重要分支一样，分析不断进步，已经积累了如此庞大的结果，以至于对该领域的“简要回顾”几乎是不可能的。现代分析主要领域包括实分析、傅里叶分析、泛函分析、算子理论和代数、调和分析、测度论、偏微分方程等。分析数学今天在科学、工程和经济学中都有重要的应用, 例如使用数学分析方法，金融业已成为数学家的重要雇主。

变分微积分是数学分析的一个重要领域，它使用变分（函数和泛函的微小变化）来找到泛函的最大值和最小值：从一组函数到实数的映射，而最大化或最小化泛函的函数可以使用变分微积分的欧拉-拉格朗日方程找到。

（三）几何学

几何学是所有科学中最古老的，至少可以追溯到欧几里得、毕达哥拉斯和其他古希腊“自然哲学家”的时代。最初，研究几何学是为了理解我们生活的物理世界，这一传统一直延续到今天, 因此它是数学的一个原始领域。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。爱因斯坦的广义相对论，就是一种纯粹的几何理论，它用四维“时空”的曲率来描述引力。然而，几何学已远远超越了物理学的应用，其思想和方法早已渗透到数学的每一个领域。

在现代数学语言中，几何学研究的中心对象是流形，流形是一个可能具有复杂整体形状的对象，但在小尺度上它“看起来像”某个维度的普通空间。例如：一维流形是一个对象，使得它的小块看起来像一条线，尽管通常它看起来像一条曲线而不是一条直线；在小尺度上，二维流形看起来像一张（弯曲的）纸——我们可以随时在两个独立的方向上移动，例如地球表面是一个二维流形；n维流形在局部看起来同样像普通的n维空间，但这并不一定与任何现实的“物理空间”概念相对应。像偏微分方程组的解集是具有一些高维流形的结构，解析这个流形的“几何”通常会有助于对这些解的性质进行理解以及对由偏微分方程建模所反映的实际现象有深刻的认识，而不论该数学模型是来自物理学、经济学、工程学还是其他任何定量学科。

几何学中一个典型的问题是“分类”某种类型的所有流形。也就是说，我们首先决定我们对哪种流形感兴趣，然后决定何时两个这样的流形基本上应该被认为是相同的，或者“等价的”，最后尝试确定存在多少个不等价类型的流形。例如，我们可能对研究位于我们可以看到的通常三维空间内的表面（二维流形）感兴趣，如果一个可以通过平移或旋转“转换”成另一个，我们可能会决定两个这样的表面是等价的。

今天，有许多不同的几何学子领域正在积极研究。比如黎曼几何, 它是对配备黎曼度量附加结构的流形的研究，黎曼度量规则是测量曲线长度、切向量之间的角度。黎曼流形具有曲率，但这种曲率与我们所知道的经典欧几里得几何定律有所不同, 比如曲率分别为正或负的话，则弯曲黎曼流形上“三角形”的内角之和可以大于或小于180。。另外，像代数几何, 它是对代数簇的研究，而代数簇是则多项式方程组的解集。它们有时是流形的，但也经常具有“奇异点”，在这些点上它们不是“平滑的”。除上述外，还有辛几何、规范场理论――研究向量丛上的联络（及其曲率）、凯勒几何等。

（四）数论

数论家对数字的性质尤感兴趣, 像整数的加法结构和乘法结构之间的关系是如此迷人，以至数论被为“数学女王”。

数论中的许多问题可以用相对简单的语言来表述，例如，著名的费马大定理指出，对于 n ≥ 3，方程“ xn + yn = zn ”不存在正整数解。孪生素数猜想是问是否应该有无限多个素数 p，使得 p+2 也是一个素数。尽管这些问题很容易陈述，但它们是如此深刻，以至于几个世纪以来数学家一直尝试证明它们。像费马大定理直到1995年才由A. Wiles在许多数学家350多年的累积努力下才成功证明，而孪生素数猜想即使在今天仍然没有被证明, 包括数学天才陶哲轩在内的数学家目前也只是证明了有无限多个素数 p，使得 p+246 也是一个素数。

在数论中证明相对简单问题的结果所产生的巨大困难催生了数学中的许多新概念。几个世纪以来，这门学科的发展非常快，与代数几何、表示论、组合数学、密码学和编码理论、概率、谐波分析和复分析等其他数学领域密切相关。数论家研究的主要领域还包括丢番图方程和丢番图近似、算术几何、L 函数和随机矩阵理论、表示理论、计算数论以及加法和概率数论。

（五）拓扑

拓扑学研究在任何连续变形下不变的空间的性质。它有时被称为“橡胶板几何形状”，因为物体可以像橡胶一样拉伸和收缩，但不能被破坏。例如，一个正方形可以变形成一个圆而不打破它，因此正方形在拓扑上等价于圆形。

拓扑中有一些示例是非常典型的，比如：一个对象中有多少个孔？如何定义圆环或球体中的孔？对象的边界是什么？空间是否相连？从空间到自身的每个连续函数都有一个不动点吗？等等。

拓扑学是数学的一个相对较新的分支。一般拓扑通常考虑空间的局部属性，并且与分析密切相关, 它推广了连续性的概念来定义拓扑空间，其中可以考虑序列的限制。有时可以在这些空间中定义距离，在这种情况下，它们称为度量空间;有时没有距离的概念也是有意义的。

拓扑学的研究领域有常规拓扑或点集拓扑、组合拓扑(考虑空间的全局属性，这些属性由顶点、边和面网络构建而成)、代数拓扑(考虑空间的全局性质，并使用群和环等代数对象来回答拓扑问题――从而将拓扑问题转换为代数问题)、微分拓扑(考虑每个点是具有某种平滑度的空间)、可微方程、动力系统、节点理论和复分析中的黎曼曲面等。

（六）纯粹数学研究前沿

纯粹数学随着代数、数论、几何、拓扑学、全局分析、镜像对称、偏微分方程、组合数学等数学分支的发展以及它们之间的相互渗透融合，产生了许多处于研究前沿的数学新分支(领域)，例如代数几何、交换代数、复分析与算子理论、泛函分析与算子理论、数论和算术几何、集合论与逻辑、拓扑和几何、组合数论、拉姆齐理论和概率论、极值组合学、偏序集合理论、极值和概率组合学、代数拓扑、分析和偏微分方程、微分几何、数学物理、代数群和表示论、算术几何、复代数几何等。

现代数学家在与上述相关的数学新分支(领域)进行了卓越的研究，并且这些研究结果又相互促进彼此的发展，比如在动力系统、数论、弦理论、朗兰兹纲领、拓扑空间测度、算子代数、微分同胚、量子几何、量子引力、随机多项式与随机矩阵、三维几何与拓扑、双曲几何、几何群论等纯数学领域取得了重大的结果，并创造了新的数学知识(工具)。

拓扑学的现代领域来自数学的核心领域的不同集合。许多基本的拓扑学用代数语言描述是最有益的——群、环、模和正合序列, 但拓扑学与许多其他领域有着密切的关系，比如它与分析(微分形式等分析结构在拓扑学中起着至关重要的作用)、微分几何和偏微分方程(通过规范理论的现代学科)、代数几何(例如，通过代数变体的拓扑)、组合学(纽结理论)和理论物理(广义相对论和宇宙的形状、弦理论)这些领域既相互联系又交叉融合，从而共同发展并取得了许多重大的成果。

下面就纯粹数学研究的前沿略举一二：

1. 动力系统

动力系统的研究正处于不同学科之间的十字路口，它与分析、几何和数论相互交叉重叠。过去的十年，动力系统的研究十分活跃，刚在泰克米勒(Teichmüller)空间上的动力学研究就产生了三位菲尔兹奖章获得者:

Jean-Christophe Yoccoz因“Yoccoz获得了布鲁诺定理的一个非常有启发性的证明，他能够证明相反的情况...Palis和Yoccoz获得了Morse-Smale微分同胚的C∞共轭不变量的完整系统＂而获奖(1994);

Maxim Kontsevich因“他对代数几何、拓扑学和数学物理的贡献，包括证明了维滕在稳定曲线模空间中的交集数猜想、构造节点的通用瓦西里耶夫不变量以及泊松流形的形式量子化”而获奖(1998);

Curtis T. McMullen因“在全纯动力学以及三维流形几何化的理论方面作出了贡献，包括证明了贝尔斯关于泰克米勒（Teichmüller）空间边界上尖点密度的猜想和克拉的θ函数猜想”而获奖(1998)。

2. 组合数学

组合数学涉及到离散对象的一般研究。现代枚举/代数组合学，与其他数学领域有着重要的联系。而组合数学的前沿，是交换代数、代数几何和表示理论之间联系的纽带，这些联系让一些长期问题找到了解决方案。在2006年颁发的四个菲尔兹奖中，有三个是颁发给了其研究工作与组合数学有密切相关的数学家：Andrei Okounkov因为“他在弥合概率、表示理论和代数几何方面作出了贡献”而获奖; Terence Tao(陶哲轩, 美籍华人)因为“他对偏微分方程、组合数学、调和分析和加法数论作出了贡献”而获奖; Wendelin Werner因为“他对随机洛夫纳演化、二维布朗运动几何和共形场论的发展作出了贡献”而获奖。

陶哲轩成长于澳大利亚。他于1991年12月在弗林德斯大学获得荣誉理学学士学位，1992年8月又拿到硕士学位，然后赴普林斯顿大学深造，并于1996年6月拿到该校的博士学位。

June Huh(韩裔美国人)被授予菲尔兹奖(2022)是为表彰他“将霍奇理论的思想引入到组合数学中，证明了道林-威尔逊有关几何格的猜想，证明了海伦-罗塔-威尔士有关拟阵的猜想，发展了洛伦兹多项式理论以及证明了强梅森猜想”。

3. 微分几何

爱因斯坦把微分几何作为他的广义相对论的数学基础，没有比这更能说明它与科学的相关性了。在过去的150年中，由于采用了全局拓扑和分析工具，以及微分几何在科学和工程中的许多应用，使它充满了活力，其中特别值得一提的是微分几何导致了广义相对论、规范场论和弦理论的发展。而过去的十年里，在这个领域的基本问题上，研究活动和进展的速度仍然是十分惊人的，比如低维拓扑中庞加莱猜想和瑟斯顿几何化猜想的证明是由佩雷尔曼利用了汉密尔顿的瑞奇流来实现的。最近在全局子流形几何领域，Simon Brendle证明了Lawson猜想，而F. Marques和A. Neves则共同解决了Willmore猜想。

微分几何大师丘成桐（美籍华人）因“在微分方程、代数几何中的卡拉比猜想（证明）、广义相对论的正质量猜想（证明）以及实数和复数的蒙日-安培方程（求解）这些方面做出了贡献”而被授予菲尔兹奖 (1982)。丘成桐成长于中国香港，他于1969年在香港中文大学取得学士学位，1971年在加州大学伯克利分校取得博士学位。

Maryam Mirzakhani（美籍伊郎人）被授予菲尔兹奖(2014)是为“表彰她在黎曼曲面及其模空间的动力学和几何学（研究方面所作出）的杰出贡献”。

Grigory Margulis因“对李群的结构提供了创新的分析。他的工作属于组合学、微分几何、遍历理论、动力系统和李群”而被授予菲尔兹奖(1978)。

4. 弦理论

在物理学中，弦理论是一个理论框架，粒子物理学中的(点状)粒子被称之为是“弦”的一维物体所取代, 它描述的是这些弦如何在空间中传播并相互作用。在大于弦尺度的距离尺度上，弦看起来就像一个普通的粒子，其质量、电荷和其他属性则由弦的振动状态决定。

弦理论试图解决基础物理学的许多深层次问题，比如用于解释黑洞物理学、早期宇宙学、核物理、凝聚态物理学等各种问题, 也为数学物理贡献了多项进展，推动了纯数学的多项重大发展。弦理论有可能提供对引力和粒子物理学的统一描述，所以它是万物理论的候选者，一个描述所有基本力和物质形式的独立数学模型。

像理论物理学中许多发展中的思想一样，弦理论目前没有一个数学上严格的公式，以便可以精确地定义其所有概念。因此，研究弦理论的物理学家经常受到物理直觉的指导，推测用于形式化理论不同部分的看似不同的数学结构之间的关系――这些猜想后来被数学家证明，这样，弦理论就成为纯数学新思想的源泉，从而涌现出许多重大数学成果。

辛拓扑是关于辛流形的整体拓扑，辛流形是一类首先出现在经典力学中的空间。在过去的几十年里，辛几何从它在哈密顿力学中的根基发展成为一个以全局问题为目标的拓扑学分支。由于它与弦理论的相关性，该领域近年来见证了活动的爆炸，并且辛拓扑学家目前正在研究的许多公开问题都源于理论物理学家的预测――这些预测被称为“镜像对称猜想”。

在弦理论、量子引力、超对称量子场论等数学物理领域工作的科学家Edward Witten, 因其 “一次又一次，出色地运用其一流的物理洞察力，并将其发挥到极致，从而产生了新的且深奥的数学定理——震惊了数学界”而被授予菲尔兹奖 (1990)。

5. 朗兰兹纲领

在表示论和代数数论中，朗兰兹纲领有许多猜想是有关数论和几何之间是有着深远的联系且相互影响的。罗伯特·朗兰兹试图将代数数论中的伽罗瓦群与自同构形式和代数群在局部域和阿黛尔上的表示理论联系起来。朗兰兹计划现被广泛视为现代数学研究中最大的项目，被个别数学家描述为“一种大统一的数学理论”。

朗兰兹纲领由一些非常复杂的理论抽象组成，即使专业数学家也很难掌握。为了简化起见，该纲领的基本引理假设为＂有限域的广义基本表示与其群扩展到自同构形式之间的直接联系，在该自同构形式下它是不变的＂。这种引理假设是通过抽象到高维积分来实现的，即通过等价于某个分析群作为其代数的绝对扩展来实现的。这样一来，就可以对数域到其自身代数结构的强大不变性变换进行结构(函数)解析。这种结构的含义是微妙的，但其具体的解决方案和概括却非常强大。证明存在性的结果意味着一种分析方法，用于构建几乎任何数域的基本结构的分类映射。

作为素数可能精确分布的类比，朗兰兹纲领允许在广义代数结构水平上解决不变性的潜在通用工具。这反过来，又允许通过算术对象的自同构函数对算术对象进行某种程度的统一分析。简单地说，朗兰兹的哲学思想是允许对数字抽象的结构进行一般分析。

有许多相关的朗兰兹猜想，它们在不同的领域有许多不同的表示，但它们都可以被陈述。对于每个领域，猜想却有几个不同的版本――朗兰兹猜想的某些版本是模糊的，或者依赖于诸如朗兰兹群之类的对象。朗兰兹猜想自1967年由朗兰兹首次提出来以来一直在发展。

对于基本朗兰兹猜想的证明或反驳，有一些强烈而明确的含义。朗兰兹假设解析数论和代数几何的推广之间存在强大的联系，因此数域的抽象代数表示与其解析素数结构之间的“函性”思想导致了强大的函数工具出现――允许精确量化素数分布。这反过来，又产生了对丢番图方程进行分类和进一步研究抽象代数函数的新工具。此外，如果这种广义代数对假定对象存在互易性，并且如果它们的分析函数可以证明是有明确定义的，那么数学中一些非常深刻的结果有可能是可以被证明的， 相关例子就有椭圆曲线的有理解、代数簇的拓扑构造以及著名的黎曼猜想――这样的证明有望在广义分析序列的对象中使用抽象解决方案，每个对象都与数域结构内的不变性相关。

简而言之，朗兰兹纲领意味着一个深入而强大的解决方案框架，它通过代数方程精确解中的高阶推广，以几何形式嵌入分析函数，从而触及数学的最基本领域。它允许将许多遥远的数学领域统一为强大的分析方法的形式。

许多现代自同构形式理论都受到朗兰兹纲领核心的两个基本问题的支配：朗兰兹的函子原理和志村-谷山-韦尔猜想在模椭圆曲线上的一般类似物。安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）的工作证明了费马大定理，这表明这两个问题，是数学中最深层次的问题之一，是密不可分的。

Vladimir Drinfeld因“在过去十年中主要关注的是朗兰兹纲领和量子群。在这两个领域，Drinfeld的工作构成了决定性的突破，并引发了大量的研究”, 从而被授予菲尔兹奖(1990)。

Laurent Lafforgue 因“其在正特征函数域上对全线性群 GLr （r≥1） 的朗兰兹对应证明(作出贡献)”而被授予菲尔兹奖(2002)。

6. 交换代数

在抽象代数中，交换代数旨在探讨交换环及其理想，以及交换环上的模。代数数论与代数几何皆奠基于交换代数。交换环中最突出的例子，包括多项式环、代数整数环与p进数环，以及它们的各种商环与局部化。皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne）于70年代初证明了A.韦伊关于有限域上射影代数簇ζ函数的一个著名猜想。交换代数的运用已深入到微分与代数拓扑、多复变函数论、奇点理论、甚至偏微分方程等领域。

自由分解和希尔伯特函数的研究是交换代数中一个美丽而核心的领域。它包含许多具有挑战性的猜想和公开的问题。希尔伯特在他的著名论文“Über the Theorie von algebraischen Formen”（《论代数形式理论》）中引入了将自由分解与模相关联的这种思想解析方案，从而提供了一种描述模结构的方法。

Pierre Deligne因“给出了将黎曼假设推广到有限域的第三个（也是最后一个）Weil猜想的解答。他的工作对统一代数几何和代数数论做出了很大贡献”而被授予菲尔兹奖(1978)。

Alexander Grothendieck 被授予菲尔兹奖(1966)是因为他“在Weil和Zariski工作的基础上，影响了代数几何的基本进展。他通过引入K理论的概念(格罗滕迪克群和环)，在他著名的｀Tôhoku paper＇论文中对同调代数进行了彻底的变革”。

7. 丢番图

先验数论、丢番图近似和丢番图几何方面的工作极具挑战性。1985年，马瑟与约瑟夫·奥斯特莱一起提出了abc猜想，它被称为“丢番图分析中最重要的未被解决的问题”。

研究具有积分或实系数的不定齐次形式的丢番图不等式是解析数论中的一个经典问题。从二次形式开始，我们希望为这种丢番图不等式的非平凡解的大小建立界限，以改进先前的已知结果。这一领域的许多问题虽然具有挑战性，但至少对于随机形式，人们希望可以得到明确的答案――这自然又会引出关于随机多项式的零点、随机形式的值分布和平均值估计这一类统计问题，以及特殊类随机 zeta 函数的零分布。要回答这些问题, 本质上必然是跨学科的，要结合分析、概率、丢番图和自同构技术。

James Maynard被授予菲尔兹奖( 2022)是因为他“对解析数论所作的贡献，这些贡献在理解素数的结构和丢番图逼近方面取得了重大进展”。

8. 几何测度理论

几何测度理论可以被描述为一个数学领域，其中通过测度理论技术研究几何问题。各种维度概念以及可纠正性和不可纠正性的定量概念是其核心概念之一。一个经典问题是研究分形集的特征或度量在给定的变换族下如何变化。马斯特兰德·马蒂拉和贝西科维奇·费德勒的著名投影定理是该理论的突出例子和基石，反映了正交投影下度量、维度和不可纠正性的作用。对自相似集和其他不变集以及随机分形集及其在线性和非线性投影下的行为的研究，目前处于非常活跃的阶段。

Alessio Figalli因"对最佳运输理论及其在偏微分方程、度量几何和概率中的应用所作的贡献"而被授予菲尔兹奖 (2018)。

9. 群论

自相似群是群论的一个重要而活跃的新领域, 最著名的例子是格里戈丘克群，这是第一个已知的中间生长群的例子。这使得研究与它们相关的 C* 代数特别有趣, 特别是，这些群通常由它们在图上的作用来定义，而相关的 C* 代数在单个代数对象中编码图的组和路径空间，以及它们之间的相互作用也特别有趣。

有限群数学家John G. Thompson因"与W. Feit共同证明了所有非循环有限简单群都有偶数阶（等价于‘证明出奇阶的群都是可解的’这个命题），又对这项工作进行了扩展并确定了极小简单有限群——也就是说，所有真子群皆为可解群”而被授予菲尔兹奖 (1970)。

10. 表示论

表示论是基础数学研究的重点。它表示范围非常广泛：李代数和模表示理论、不变理论和代数群、酉表示理论和李群、量子群和双曲几何的表示等。表示论涵盖了代数、几何和分析方面，这些分支的广泛交联使得数学内外的研究主题能建立许多联系，这些领域从经典力学到量子力学，包括天体力学和固体物理学中的算子理论和微分拓扑。目前，随机和动态系统是表示理论和算子代数分支中重要的且非常活跃的部分。在表示论中，对称性（表示）的分类非常令人感兴趣。

Andrei Okounkov致力于表示论及其在代数几何、数学物理、概率论和特殊函数中的应用, 因"他在概率、表示论和代数几何方面的贡献"而获菲尔兹奖(2006)。

Akshay Venkatesh之所以被授予菲尔兹奖(2018)是“他综合（运用了）解析数论、齐性动力系统、拓扑学和表示论（这些数学工具）来解决诸如算术对象的平均分布等领域中长期存在的问题" 。

11. 复曲面拓扑学

复曲面拓扑学虽然在 20 年前才首次被发现，但却得到迅速发展，是因为共生论和同伦理论、代数和组合几何、交换代数、以及辛几何和可积系统这些领域的数学家贡献良多。

从根本上说，复曲面拓扑学是对具有良好环面对称性的拓扑空间所进行的研究。其中心对象是复曲面、拟复曲面和环面流形，以及矩角复形。拟复曲面流形和环面流形是复曲面簇的拓扑推广，这些流形通常是代数的或辛的，但不是必须的。这样一来，在研究拓扑和组合性质方面具有更大的灵活性――特别是，这些性质给出了关于复曲面类别本身的有价值的信息。矩角复形是由圆盘和圆的乘积按照一个由底层单纯复形确定的配方粘合而成的空间。矩角复形的构造统一了来自看似不相关的数学领域的几个现有构造，包括拓扑学和全纯动力学中研究的特殊实二次曲线和埃尔米特二次曲线的交集，通过辛约简构造哈密顿环曲面流形的矩映射的水平集，以及坐标子空间排列的补充。

多面体扩展了矩角复形的统一范围，多面体是矩角复形的函子推广，其中圆盘和圆被CW复形和CW子空间代替――它们出现在:同伦理论中的Whitehead过滤，群上同调中的非球面性研究，几何群论中的直角Artin群、直角Coxeter群和图积的研究，将Euler Phi函数与Mobius函数联系起来的恒等式，以及机器人学和蛛形纲动物机制的研究。

12. 非交换拓扑

这个相对年轻的领域源于Gelfand-Naimark定理，在紧豪斯多夫空间和交换C*代数之间建立了牢固的联系，这使我们能够将拓扑转换为代数和泛函分析。更重要的是，一旦用代数的方式表述，其中一些概念对非交换C*代数仍然有意义，这为用拓扑学的思想研究这些代数打开了大门。然而，真正令人着迷的事实是，非交换C*代数的研究反过来又对经典拓扑和几何领域影响深远，其所引致的应用是深刻的。这方面例子不少，例如鲍姆·康纳猜想是群的非交换拓扑的核心思想，它暗示了关于更高特征的诺维科夫猜想和关于正标量曲率度量存在的稳定格罗莫夫·劳森·罗森伯格猜想。非交换拓扑的研究涉及到许多方面，最热门的是核C *代数的分类方法、量子群和双变K理论，以及与几何群论的联系。

Alain Connes是该领域的开拓者，因他“对算子代数理论做出了贡献，特别是III型因子的一般分类和结构定理，超有限因子的自同构分类，单射因子的分类，以及C*代数理论在叶状结构的几何和微分几何中的应用”而被授予菲尔兹奖（1982）。

13. 微分拓扑学

微分拓扑学认为空间具有与每个点相关的某种光滑性。在这种情况下，正方形和圆形不会平滑地(或可微地)等价于彼此。微分拓扑学对于研究向量场(如磁场或电场)的性质很有用。微分拓扑学活跃领域:闭1型叶，表面叶理；超级流形上的形式。而天体力学和固体物理学中的微分拓扑研究也挺活跃。

拓扑学用于数学的许多分支，如微分方程、动力系统、纽结理论和复分析中的黎曼曲面。它也用于物理学中的弦理论，并用于描述宇宙的时空结构。

René Thom因“创造了'Cobordisme'理论，在其存在的几年内，导致了对可微流形拓扑的最深入的见解”而获得了菲尔兹奖(1958)。

John Willard Milnor因“证明了一个 7 维球体可以有几个微分结构——这导致了微分拓扑领域的创建”而获得了菲尔兹奖(1962)。

Stephen Smale被授予菲尔兹奖 (1966) 是因他"在微分拓扑学研究中证明了维数n≥5的广义庞加莱猜想——任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面”。对于“此类问题及相关问题”，他“先将流形分解为胞腔，然后再利用添加环柄的消去方法”去解决。

Michael Hartley Freedman"开发出对四维流形（进行）拓扑分析的新方法，（由此导致）的成果之一便是他证明了四维庞加莱猜想”，因此而被授予菲尔兹奖(1986)。

14. 几何分析

几何分析是一门数学学科，其中来自微分方程的工具，特别是椭圆偏微分方程（PDE），用于建立微分几何和微分拓扑的新结果。线性椭圆偏微分方程的使用至少可以追溯到霍奇理论。最近，它主要是指使用非线性偏微分方程来研究空间的几何和拓扑性质，例如欧几里得空间的子流形、黎曼流形和辛流形。这种方法可以追溯到Tibor Radó和Jesse Douglas在最小曲面上的工作，John Forbes Nash Jr.关于黎曼流形等距嵌入欧几里得空间的工作，Louis Nirenberg关于闵可夫斯基问题和Weyl问题的工作，以及Aleksandr Danilovich Aleksandrov和Aleksei Pogorelov在凸超曲面上的工作。在20世纪80年代，Karen Uhlenbeck、Clifford Taubes、Shing-Tung Yau、Richard Schoen以及Richard Hamilton开创了一个特别令人兴奋和富有成效的几何分析时代，一直持续到今天。

几何分析的范围包括使用几何方法研究偏微分方程（也称为“几何偏微分方程”），以及偏微分方程理论在几何学中的应用。它包括涉及曲线和曲面或具有曲线边界的域的问题，但也包括任意维数黎曼流形的研究。变分微积分有时被视为几何分析的一部分，因为由变分原理产生的微分方程具有很强的几何内容。几何分析还包括全局分析，它涉及流形上微分方程的研究，以及微分方程与拓扑之间的关系。

以下是几何分析中的主要内容：

规范理论

谐波图

凯勒-爱因斯坦度量

平均曲率流量

最小子流形

正能量定理

伪全纯曲线

利玛窦流

山部问题

杨-米尔斯方程

Grigori Perelman被授予菲尔兹奖(2006)，是为“表彰他对几何学的贡献以及他对利玛窦流的分析和几何结构的革命性见解”――证明了庞加莱猜想，但他本人拒领。

Simon Donaldson获得菲尔兹奖（1986）“主要是因为他在四维流形拓扑方面的工作，特别是证明了欧几里得四维空间中有一种不同于通常结构的微分结构”。Donaldson之所以取得成功，是因为他扭转了将数学应用于解决物理学问题的通常方向，特别是他使用杨-米尔斯方程组来解决纯数学中的问题――这是詹姆斯·克拉克·麦克斯韦电磁方程组的推广。

15. 理论物理学

理论物理，尤其是量子场论和弦理论领域，是已知的非凡数学猜想和构造的丰富来源。拓扑量子场论就是这种结构的一个例子，这个概念由迈克尔·阿提亚在20世纪80年代首次正式提出，后来经历了各种推广。它将流形和嵌入的拓扑不变量整合到一个便于研究的代数结构中，这个和其他与理论物理密切相关的数学概念正是基础数学前沿的一些研究课题。

Vaughan F.R. Jones 因对拓扑量子场论进行研究而于1990 年获得菲尔兹奖，他通过这项研究

发现了“冯·诺依曼代数和几何拓扑之间惊人的关系――结果，他发现了三维空间中纽结和链环的一个新的多项式不变量”。

（七）应用数学研究前沿

数学是一个知识领域，包括：数字，公式和相关结构，形状和包含它们的空间以及数量及其变化等主题。这些主题在现代数学中分别以数论、代数、几何和分析等主要子学科为代表。数学家们对他们的学科的共同定义没有普遍的共识, 但最重要的数学发现往往受益于不同数学领域思想的交叉碰撞。

现代科学的巨大成功很大程度上归功于数学在分析自然和社会现象产生的模型方面的应用。

在应用数学中，我们通过寻找与其他学科的重要联系，这些学科可能会激发有趣和有用的数学，以及创新的数学推理可能会带来的新见解和应用。

应用数学是物理、工程、医学、生物学、金融、商业、计算机科学和工业等不同领域对数学方法的应用。因此，应用数学是数学科学和专业知识的结合。“应用数学”一词也描述了它是数学家通过建立和研究数学模型来解决实际问题的一门专业。

应用数学主要包括应用分析，最著名的是：微分方程；近似理论(广义解释：包括表示法、渐近法、变分法和数值分析)；应用概率。

许多数学家区分“应用数学”和“数学的应用”，前者涉及数学方法，后者涉及科学和工程。一个使用人口模型和应用已知数学的生物学家不是在做应用数学，而是在使用它；然而，数学生物学家提出的问题刺激了纯数学的发展。同样，非数学家混淆了应用数学和数学的应用，他们利用和发展数学来解决工业问题，因此它也被称为“工业数学”。

有时，应用数学一词被用来区分与物理学一起发展的传统应用数学和适用于当今现实世界问题的许多数学领域，尽管对精确的定义没有共识，但数学家们经常区分“应用数学”和“数学的应用”或科学与工程内外的“应用数学”。一些数学家强调“应用数学”这个术语，是为了把传统的应用领域与从以前被认为是纯数学的领域中产生的新的应用领域区分开来――像数论这样属于纯数学的领域现在在应用中也很重要(如密码学)，此外，拓扑学也可以惊人地用于研究各种更“应用”的领域――从大型数据集的结构到DNA的几何结构。尽管它们本身一般不被认为是应用数学领域的一部分。这种描述可以导致应用数学被视为数学方法的集合，如实分析、线性代数、数学建模、最优化、组合学、概率和统计，这些方法在传统数学以外的领域是有用的，而不是数学物理所特有的。

应用数学与统计学学科有很多重叠之处。统计理论家用数学研究和改进统计程序，统计研究经常提出数学问题。统计理论依赖于概率和决策理论，并广泛使用科学计算、分析和优化；对于实验的设计，统计学家使用代数和组合设计。

应用数学研究前沿有许多极具挑战性的课题，这里略举一二：

1. 微分方程

偏微分方程在物理和工程等面向数学的科学领域无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、泡利方程等）的理解的基础。由于来源的多样性，存在广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理出现的许多单个方程的方法。因此，人们通常承认，偏微分方程没有“一般理论”，专业知识在某种程度上分为几个本质上不同的子领域。

截止到2020 年，随机偏微分方程和非局部方程在“偏微分方程”概念的特别广泛研究基础上已得到充分扩展。而更经典的主题，仍然有很多积极的研究，包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程。

流体力学是一个很大的数学领域，有许多跨学科的联系，包括许多不同的子领域。它围绕着分析和应用数学中的经典问题，并且是最近取得重大进展的一个领域。这些问题主要涉及描述各种物理环境中流体运动的非线性偏微分方程(PDEs)的研究。最突出的例子是欧拉方程和纳维尔-斯托克斯方程，它们早在18世纪就已经引入。它们吸引了无数研究者的注意，并且仍然是一些最重要的开放科学问题的中心，例如“湍流理论”。

湍流常见于日常现象中，如海浪、湍急的河流、滚滚的风暴云或烟囱冒出的烟雾，自然界中发生或工程应用中产生的大多数流体流动都是湍流。

数学家可以对湍流做出预测，但他们也没办法用一套真正严谨的数学工具来描述它是什么以及它为什么会发生，因为现阶段人们对湍流的认知水平如同古代航海家对星星的理解般。但可通过用严格的数学术语表达一些最基本的湍流和流体力学定律――这为理解什么是湍流及其工作原理奠定了基础。

“流体动力学是如此复杂，以至于世界上最大的超级计算机永远无法计算出以 300 英里/小时的速度飞行时飞机周围的空气流动状况，”美国马里兰大学数学系教授雅各布·贝德罗辛说，“因此，我们制作近似模型，工程师根据这些模型来设计和测试飞机。如果我们不了解流体动力学的基本数学基础，我们的模型就不会那么好。然而，借助有助于解释流体行为方式的严格数学基础和方程式，我们可以改进我们的模型并在计算机中设计飞机，而不必在风洞中进行数千次实验――这可以节省数十亿美元。”

为了解决湍流定律，雅各布·贝德罗辛采取了一种在数学家中有些独特的方法――他们中的大多数人都试图用微分方程分析中的经典思想来描述湍流。但根据雅各布·贝德罗辛的说法，以这种方式研究湍流更多的是预测会发生什么，而不是解释其根本原因和动力学。

雅各布·贝德罗辛更倾向于物理学家和工程师，他将湍流视为动力系统的问题——研究其状态根据简单规则随时间演变的系统如何发展出复杂且不可预测的行为。单靠微分方程工具无法解释动力系统，因此雅各布·贝德罗辛通过概率和混沌理论的视角来研究湍流和流体力学。

混沌行为存在于许多自然系统中，包括流体流动、不规则的心跳、天气和气候。它也在一些具有人工成分的系统中自发发生，例如道路交通。

混沌系统的特征之一是附近初始点的轨迹发散，这使得它们的演化变得复杂。根据这种发散的速度，动力系统通常分为三大类：如果附近的轨道呈指数发散，则称为双曲；如果没有背离（或者可能比多项式慢），则称为椭圆形；如果它显示混沌演化的中间形式，即附近的轨道在时间上多项式发散，则称为抛物线。

2. 微分几何

在物理学中，微分几何有许多应用，例如微分几何是表达阿尔伯特·爱因斯坦广义相对论的语言。根据该理论，宇宙是一个光滑的流形，配备了伪黎曼度量，它描述了时空的曲率。了解这种曲率对于将卫星定位到地球轨道上至关重要。

微分几何还在如下场景（只是列举部分）得到应用：

在化学和生物物理学中，当在变化的压力下模拟细胞膜结构时

经济学，尤其是计量经济学这个细分领域

几何建模（包括计算机图形学）和计算机辅助几何设计借鉴了它的思想

在工程中，用于解决数字信号处理中的问题

在控制理论中，用于分析非线性控制器，特别是几何控制

在概率、统计和信息论中，人们可以将各种结构解释为黎曼流形，这产生了信息几何领域

在构造地质学中，用于分析和描述地质结构

在计算机视觉中，用于分析形状

在图像处理中，用于处理和分析非平坦表面上的数据

在无线通信中，用于多天线系统中的波束成形技术

3. 计算与数学生物学

20世纪见证了数学应用于生物系统的革命。生态学、流行病学、遗传学和生理学等领域使用微分方程组、非线性动力系统和类似的数学结构以全新的方式量化，然后对这些系统进行数学分析，提供新的生物学见解。从对复杂群体动力学的新解释，到控制疾病爆发的方法，到许多现代定量遗传学的公式，再到对神经元等复杂生理结构的详细理解――这些见解都意义深远，其影响也是深远的：Hodgkin、Huxley和Ross等数学生物学家因其科学成就而获得诺贝尔奖。

这近几十年来，生物学和数学之间爆发式的协同作用极大地丰富和扩展了这两个领域。事实上，由于数学能够揭示各种生物系统中不可见的世界，它被称为“生物学中的新显微镜”。反过来，生物学刺激了数学新领域的诞生。数学家们致力于特定的生物和医学应用，以及开发新的应用数学技术和受生物应用启发的新的数学定理。而数学应用的范围很广，所采用的数学工具多种多样，包括动力系统、偏微分方程、随机动力学、流体动力学、几何，、拓扑和代数等都是常用的数学技术手段。

包括基因组分析、生物分子结构和动力学、系统生物学、胚胎学、免疫学、神经科学、心脏生理学、生物流体动力学、医学成像、人类环境反馈、复杂的微生物系统、药物设计和筛选、植物-传粉媒介系统等这些领域的问题已成为纯粹的应用数学家和计算机科学家、生物学家、医学家彼此合作攻关的数学生物学前沿课题。

现代生物学越来越依赖于计算机科学和电气工程的算法和概念工具。一个主要因素是生物数据集的规模和范围空前增长，包括多物种基因组数据、多态性变异数据库、蛋白质结构和RNA结构数据库、基因表达数据、大规模基因敲除实验的生化测量和生物医学数据等这些数据巨大无比。表示、操作和整合这些数据需要了解来自计算机科学和电气工程不同领域的想法，例如数据库、算法、人工智能、图形、信号处理和图像处理。对产生此类数据的潜在现象进行推理需要系统级思维，这是控制理论、信息论和统计机器学习等领域的基础。电路设计和纳米技术的思想在新型生物传感器和执行器的设计中起着关键作用。包括CT等在内的每种医学成像技术的核心都是测量过程的复杂数学模型和从测量数据重建图像的算法――数学理论、分析、建模和信号处理在医学成像中的应用。

美国华盛顿大学(UW, Seattle)蛋白质设计研究所所长David Baker教授所领导的团队成功开发出一套蛋白质设计软件，可使用它来创建能解决医学、技术和可持续性方面的难题又极具现代挑战性的蛋白分子。该设计软件只需几秒钟便可以设计出“原创”的新蛋白――此成果入选中国两院院士评选的“2022年世界十大科技进展新闻”。

他们的研究集中于蛋白质结构、蛋白质折叠机制、蛋白质-蛋白质间相互作用、蛋白质-核苷酸间相互作用和蛋白质-配体间相互作用的预测和设计。他们的方法是利用实验来理解这些问题背后的基本原理，并根据这些见解开发出计算模型，又通过结构预测和设计来测试这些模型，并努力通过在计算和实验研究之间迭代来不断改进其方法。

最近的几个例子说明了他们取得了非常成功:

(1)他们使用计算蛋白质设计方法创造了一种具有新型折叠的人工球状蛋白质。Top7的实验表征表明，它极其稳定，x射线晶体结构与设计模型惊人地接近。这些结果表明，它可以以原子水平的精度设计新的蛋白质，目前他们的工作旨在使用这些技术设计具有新功能的新蛋白质。

(2)他们已经重新设计了蛋白质-蛋白质间相互作用的特异性，并证明了特异性的变化在体外和体内都成立。

(3)在从头开始的蛋白质结构预测中, 他们最近的CASP4和CASP5蛋白质结构预测方法在国际盲测中产生了前所未有的精确结果。

4. 数值分析和科学计算

近几十年来，正向模型的求解一直是数值分析的核心问题。随着数学和算法的进步，可以解决更具挑战性的任务，并且已经进行了大量研究来计算控制方程的“最佳设置”。在许多应用中，计算参数、强制项等至关重要，以便最匹配测量数据或描述所需行为的偏微分方程。此类问题通常被表述为具有偏微分方程约束的优化问题。

相应地，有大量的现代数学和科学研究在研究使用计算机对某些偏微分方程的数值近似解的方法。偏微分方程也占据了纯数学研究的很大一部分，其中通常的问题是在广义上，关于各种偏微分方程解的一般定性特征的识别，例如存在性、唯一性、规律性和稳定性。

现代数值数学方法和软件的成功导致了计算数学、计算科学和计算工程的出现，它们使用高性能计算来模拟科学和工程中的现象和解决问题，而这些通常被认为是跨学科的。数学家和其他行业科学家（工程师）通过开发与程序直接相关的基本数学算法，在高质量的软件中实现它们――通过演示、测试平台、原型、参考实现和广泛的信息传播来确保数学软件的性能、可用性、可靠性、可移植性和兼容性。同时，科学家们还要开发用于表示、搜索、可视化和交换数学对象和数据库的技术、工具和标准来与之配套。

对于统计和量子力学中的随机建模、非线性优化、矩阵分析、高维数据分析以及位于流体和固体力学、等离子体物理学、声学和物理等领域核心的偏微分方程的数值解，科学家们越来越感兴趣。但这项工作的大部分核心是开发强大而高效的算法。而随着这些算法应用于越来越复杂的问题，人们开始非常关注有效且可支持的软件的设计――提供了有效的计算机辅助计算偏微分方程或变分问题近似解的基础。强大软件包的开发和实施是分析、建模和数值学的研究重点。得益于这些软件的问世，非线性偏微分方程的数学建模、分析和数值逼近在科学和工程界得到了大规模的应用：物理学和生物学中非线性演化方程和交叉扩散系统的熵耗散方法；半导体模型的推导和分析以及半导体器件的数值模拟；图像和信号处理中的逆问题；

光学表面（反射器、透镜）越来越多地通过所谓的自由曲面来实现，以创建各种功能所需的复杂光分布；逼真的材料三维模型等。

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