中小学数学·(中学版) 初中 两圆公切线 贵州省福泉市第一中学(550500) 罗华暑 我们在进行“两圆的公切线”的教学时，对于两圆 公切线 的求法，通常是画出两圆的公切线后，依次作 出下列辅助线： 1．如图1，当直线与两圆外切时，通常是过公切线 与两圆的切点，分别作两圆的半径，然后连接两圆圆 心，再过小圆圆心作大圆半径的垂线，得一矩形和一 直角三角形 ： 图 1 2．如图2，当直线与两圆内切时，通常是过小圆圆 心作大圆半径延长线的垂线，然后连接两圆圆心，得 一 矩形和一直角三角形． 图 2 此时，矩形的一边既是公切线长又是直角三角形 的一直角边，利用勾股定理，即可求出公切线长． 以上是我们在教学时惯用的作图求法，教材如此 安排，目的是为了使学生明白两圆公切线的有关辅助 线的作法，但因所作辅助线较繁琐，因而在考试中不 太实用．那么，能不能找到一种简单易行的方法直接 进行计算呢? 其实，如果仔细观察，不难看出，两圆的公切线长 与两圆的半径之差(或和)和圆心距三者之间恰好组 成 了一直角 三角形 ，利用 勾股定理 ，立即 可得 出所 求 公切线段长 的公式 ： 设两 圆的外公切线长 为2 内公切 线长为 Z ，两圆 的半径分别为R和r(R>r)，圆心距为d，则： 当求两 圆外公切线长 时，如 图3有 ： r ——： —— ——— — ——— —— —— = √ 一(R—r) ． 图3 特别，当两圆外切时，有 d=R+，．，此时： ： 2 当求两圆的内公切线长时，如图4有： = √ 一(R+r) 01 02 图4 以上两公式在解与两圆公切线长有关的填空题 和选择题时无疑是比较理想的方法之一． (接上页)AABE~AACD。过程如下： 证 明：如 图7，假设 BD>CE，连结DE，BC， ’ ．’AE=AD， ． AB>AC， ． ． ACB> ABC (定 理 ①)， ．‘LADE：LAED< 90。 ， ． 。 ． BDE= DEC>9O。 ， ‘ ． DE=DE，．‘． E>CD(定理 ③)， 第 回 页 图 7 C ’ ．’ (姬}= 0G，．’．OE>0D， ． 。 ． LCDE>LBED r定理①J， ． 。 ． ECD LABC相矛盾， ．．．假设BD>CE不成立；同理，BD