一、圆相关基本概念

（1）圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形。

圆内：点到圆心的距离小于半径

圆上：点到圆心的距离等于半径。

圆外：点到圆心的距离大于半径。

圆心相同，半径不同的两圆叫做同心圆。

圆心相同，半径相同的两圆叫做同圆。

圆心不同，半径相同的两圆叫做等圆。

（2）圆的弦与弧

①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

  圆心到弦的距离，叫做弦心距，如图中线段OD。

②弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧。

  在一个圆中，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧。

③无特殊说明的情况下，

表示以A、B为端点的劣弧，而优弧则用

表示。在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。

（3）圆心角与圆周角

①圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，如上图中∠AOB。

②圆周角：顶点在圆上，且角两边都与圆相交的角叫圆周角，如上图中∠ACB。

（4）圆的对称性

①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的线。也是中心对称图形，对称中心为圆。

将圆绕圆心旋转任意度数后都与原图形重合，所以圆具有任意角度的旋转对称性。

③在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，其余各组量也分别相等。

二、垂径定理：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

总结：垂径定理中的六个元素：过圆心、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧，平分圆心角，知二证四。

三、圆周角定理及其推论

圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。

圆周角定理的推论：

 ①在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

②圆周角的角平分线平分所对的弧。

③圆内接四边形的对角互补。

④直径所对的圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：当圆周角是一个钝角时，它所对应的圆心角是一个优角。（大于180°小于360°的角叫做优角，大于0°小于180°的角统称劣角）

四、直线与圆的位置关系

相交：圆心到直线的距离小于半径，圆与直线有两个公共点。

相切：圆心到直线的距离等于半径，圆与直线有一个公共点。

相离：圆心到直线的距离大于半径，圆与直线没有公共点。

五、圆的切线

切线定理：圆的切线与过切点的半径垂直。

推论①：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推理②：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定：

①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

③经过半径的外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线。

六、切线长和切线长定理

过圆外一点可以向圆作两条切线，该点和切点之间的线段的长度叫做切线长，并且两条切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。

七、弦切角定理

①弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相切，另一边和圆相交的角叫弦切角。

②弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

如图，CD与圆O相切于点P，则∠BPD=∠A，∠APC=∠B。

八、圆与圆的位置关系

 ①内含：一个圆完全在另外一个圆内部，且没有公共点。

 ②内切：一个圆在另外一个圆内部且有一个公共切点。

 ③相交：一个圆与另外一个圆有两个公共点。

 ④外切：一个圆在另外一个圆外部且有一个公共切点。

 ⑤外离：一个圆完全在另外一个圆外部，且没有公共点。

设、的半径分别为、，且，圆心的距离为。请分别写出在以下五种情况下写出与、的关系。

九、两圆的公切线

 ①如果两圆内切，那么它们有一条外公切线，切点与两圆圆心在一条直线上。

 ②如果两圆相交，那么它们有两条外公切线，且两条外公切线长度相等。

 ③如果两圆相切，那么它们有两条外公切线和一条内公切线，两条外公切线长度相等，内公

   切线垂直于两圆的圆心连线。

 ④如果两圆外离，那么它们有两条外公切线和两条内公切线，两条外公切线长度相等，两条

   内公切线长度也相等，且两条内公切线的交点在两圆的圆心连线上。

十、公切线的长度

设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r，且R>r，圆心之间的距离为d。你能根据下图提示给出外公切线和内公切线长的公式吗？

十一、圆幂定理（是以下三条定理的总称）

（1）相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。如作图，弦AB与弦CD交于点P，则：PA·PB=PC·PD。

（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如中图，PC与圆相切于点C，割线PA与圆交于点A、B，则：PA·PB=PC²。

（3）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆两交点的两条线段长的乘积相等。如右图，割线PC与圆交于点C、D，割线PA与圆交于点A、B，则：PA·PB=PC·PD

十二、四点共圆的判断方法:

（1）到一点距离相等的四个点共圆。

（2）同斜边的直角三角形的顶点共圆。

（3）同底且同侧顶角相等的两个三角形的顶点共圆。

（4）对角互补的四边形四点共圆。

（5）若四边形ABCD的对角线交于点P，且PA·PC=PB·PD，则ABCD四点共圆。

（6）四边形ABCD一组对边AB、DC的延长线交于点P且PA·PB=PC·PD，则ABCD四点共圆。