命题推理 , 根据 前提 , 推理出 结论 ;

如 : 前提 : 是 p → ( q → r ) p \to (q \to r) p→(q→r) , p p p , q q q ; 结论 : 是 r r r

如何判定根据上述前提 , 推理出的结论是正确的呢 ?

推理定律 : A , B A,B A,B 是两个命题 , 如果 A → B A \to B A→B 是永真式 , 那么 A ⇒ B A \Rightarrow B A⇒B ;

推理的形式结构

前提 : A 1 , A 2 , ⋯   , A k A_1 , A_2 , \cdots , A_k A1​,A2​,⋯,Ak​

结论 : B B B

推理的形式结构为 : ( A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A k ) → B (A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B (A1​∧A2​∧⋯∧Ak​)→B

命题逻辑 推理的正确性 判定 , 有两种方法 ;

方法一 : 写出推理的 形式结构 , 查看该推理的形式结构是不是 永真式 ; 如果是永真式 , 那么该推理是正确的 ;

方法二 : 从 前提 推演 结论 , 根据 等值演算规则 , 推理规则 , 进行推演 ;

等值演算参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 等值演算 | 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配律 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 双重否定率 | 蕴涵等值式 … )

前提 : p → ( q → r ) p \to (q \to r) p→(q→r) , p p p , q q q ; 结论 : r r r

推理的形式结构是 : ( p → ( q → r ) ) ∧ p ∧ q → r (p \to (q \to r)) \land p \land q \to r (p→(q→r))∧p∧q→r

使用 等值演算 的方法 , 验证上述形式结构是否是 永真式 ;

联结词的 优先级为 : “ ¬ \lnot ¬” 大于 “ ∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨” 大于 “ → , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔” ; 先从优先级较高的开始进行 ;

( p → ( q → r ) ) ∧ p ∧ q → r (p \to (q \to r)) \land p \land q \to r (p→(q→r))∧p∧q→r

蕴涵等值式 : 使用 蕴涵等值式 规则 , 将上述 ( p → ( q → r ) ) (p \to (q \to r)) (p→(q→r)) 进行等值演算 :

⇔ ( ¬ p ∨ ( ¬ q ∨ r ) ) ∧ p ∧ q → r \Leftrightarrow (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \land p \land q \to r ⇔(¬p∨(¬q∨r))∧p∧q→r

分配率 : 根据 分配率 , 计算 ( ¬ p ∨ ( ¬ q ∨ r ) ) ∧ p (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \land p (¬p∨(¬q∨r))∧p 部分 :

⇔ ( ( ¬ p ∧ p ) ∨ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) ) ∧ q → r \Leftrightarrow (( \lnot p \land p ) \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) ) \land q \to r ⇔((¬p∧p)∨((¬q∨r)∧p))∧q→r

矛盾律 : 其中 根据 矛盾律 可知 , ¬ p ∧ p ⇔ 0 \lnot p \land p \Leftrightarrow 0 ¬p∧p⇔0 :

⇔ ( 0 ∨ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) ) ∧ q → r \Leftrightarrow ( 0 \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) ) \land q \to r ⇔(0∨((¬q∨r)∧p))∧q→r

同一律 : 根据 同一律 , 0 ∨ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) 0 \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) 0∨((¬q∨r)∧p) 与 ( ¬ q ∨ r ) ∧ p (\lnot q \lor r) \land p (¬q∨r)∧p 是等价的 :

⇔ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) ∧ q → r \Leftrightarrow ( (\lnot q \lor r) \land p ) \land q \to r ⇔((¬q∨r)∧p)∧q→r

结合律 : 根据 结合律 , 重新结合 ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) ∧ q ( (\lnot q \lor r) \land p ) \land q ((¬q∨r)∧p)∧q 为 ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ q ) ∧ p ( (\lnot q \lor r) \land q ) \land p ((¬q∨r)∧q)∧p :

⇔ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ q ) ∧ p → r \Leftrightarrow ( (\lnot q \lor r) \land q ) \land p \to r ⇔((¬q∨r)∧q)∧p→r

分配率 : 根据 分配率 , 计算 ( ¬ q ∨ r ) ∧ q (\lnot q \lor r) \land q (¬q∨r)∧q , 结果是 ( ¬ q ∧ q ) ∨ ( r ∧ q ) (\lnot q \land q) \lor (r \land q) (¬q∧q)∨(r∧q)

⇔ ( ( ¬ q ∧ q ) ∨ ( r ∧ q ) ) ∧ p → r \Leftrightarrow ( (\lnot q \land q) \lor (r \land q) ) \land p \to r ⇔((¬q∧q)∨(r∧q))∧p→r

矛盾律 : 根据 矛盾律 计算 ¬ q ∧ q \lnot q \land q ¬q∧q , 其结果是 0 0 0 :

⇔ ( 0 ∨ ( r ∧ q ) ) ∧ p → r \Leftrightarrow ( 0 \lor (r \land q) ) \land p \to r ⇔(0∨(r∧q))∧p→r

同一律 : 根据同一律 , 0 ∨ ( r ∧ q ) 0 \lor (r \land q) 0∨(r∧q) 等价于 ( r ∧ q ) (r \land q) (r∧q) :

⇔ ( r ∧ q ) ∧ p → r \Leftrightarrow (r \land q) \land p \to r ⇔(r∧q)∧p→r

联结词优先级 : ( r ∧ q ) ∧ p (r \land q) \land p (r∧q)∧p 中 , 联结词优先级相同 , 括号可以删除 , 将三个命题放在一个括号中 ;

⇔ ( r ∧ q ∧ p ) → r \Leftrightarrow (r \land q \land p ) \to r ⇔(r∧q∧p)→r

蕴涵等值式 : 根据 蕴涵等值式 , 消去 蕴涵联结词 → \to → :

⇔ ¬ ( r ∧ q ∧ p ) ∨ r \Leftrightarrow \lnot (r \land q \land p) \lor r ⇔¬(r∧q∧p)∨r

德摩根律 : 根据 德摩根律 , 将否定符号分配到括号中 ;

⇔ ( ¬ r ∨ ¬ q ∨ ¬ p ) ∨ r \Leftrightarrow (\lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p ) \lor r ⇔(¬r∨¬q∨¬p)∨r

联结词优先级 : ( ¬ r ∨ ¬ q ∨ ¬ p ) ∨ r (\lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p ) \lor r (¬r∨¬q∨¬p)∨r 中 , 联结词优先级相同 , 括号可以删除 , 将三个命题放在一个括号中 ;

⇔ ¬ r ∨ ¬ q ∨ ¬ p ∨ r \Leftrightarrow \lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p \lor r ⇔¬r∨¬q∨¬p∨r

排中律 : 根据排中律 , ¬ r ∨ r \lnot r \lor r ¬r∨r 与 1 1 1 等价 ;

⇔ 1 ∨ ¬ q ∨ ¬ p \Leftrightarrow 1 \lor \lnot q \lor \lnot p ⇔1∨¬q∨¬p

零律 : 根据零律 , 1 1 1 析取任何值 , 都等价于 1 1 1 :

⇔ 1 \Leftrightarrow 1 ⇔1

逻辑推理参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )

前提 : p → ( q → r ) p \to (q \to r) p→(q→r) , p p p , q q q ; 结论 : r r r

将前提条件使用合取联结词连接起来 , ( p → ( q → r ) ) ∧ p ∧ q (p \to (q \to r)) \land p \land q (p→(q→r))∧p∧q , 进行等值演算 , 计算出 r r r ;

( p → ( q → r ) ) ∧ p ∧ q (p \to (q \to r)) \land p \land q (p→(q→r))∧p∧q

等值演算 结合律 :

⇔ ( ( p → ( q → r ) ) ∧ p ) ∧ q \Leftrightarrow ((p \to (q \to r)) \land p) \land q ⇔((p→(q→r))∧p)∧q

逻辑推理 假言推理 : ( A → B ) ∧ A ⇒ B ( A \to B ) \land A \Rightarrow B (A→B)∧A⇒B , 因此从 ( p → ( q → r ) ) ∧ p (p \to (q \to r)) \land p (p→(q→r))∧p 可以推理出 q → r q \to r q→r ;

⇒ ( q → r ) ∨ q \Rightarrow (q \to r) \lor q ⇒(q→r)∨q

逻辑推理 假言推理 : ( A → B ) ∧ A ⇒ B ( A \to B ) \land A \Rightarrow B (A→B)∧A⇒B , 因此从 ( q → r ) ∨ q (q \to r) \lor q (q→r)∨q 可以推理出 r r r ;

⇒ r \Rightarrow r ⇒r

逻辑推理 比 等值演算 快 , 等值演算比较直观 , 逻辑推理需要选择合适的推理定律 ;