Y——实际利率或到期收益率，和C对应也是年利率；

d——计算日到下一付息日之间的实际天数；

TS——当前付息周期的实际天数；

n——计算日至到期兑付日的付息次数；

M——面值；

PV——债券全价，或面值M+溢折价余额Z+应计利息余额A。

把 d 减少1天， 得到次日的公式：

公式（2）表明在债券的持有期间，任何相邻两天的全价之比是一个常数，或者说，任何一天的全价，即面值+溢折价余额+应计利息余额，都按照同样的利率增长到次日的全价。注意，公式两边都有应计利息余额的参与，反映出实际利率的本质是复利，是利滚利，利息是要再投资的，其余额和面值、溢折价余额一起作为全价“基数”，按照实际利率进行增值，来形成每天总的利息收入。但是，应计利息本身每天按d/TS等额或者单利增加是市场惯例，所以利息按实际利率再投增长的部分被计入到计提的溢折价之中。此外，每天计提的溢折价=利息收入-应计利息的增加额，利息收入是由面值+溢折价余额+应计利息余额共同产生的，而不是只由面值+溢折价余额产生的。这个是实际利率法的核心所在，无论公式表述为“年利率”还是“日利率”，都应该符合这个思想。

如此，我们就可以理解“日利率”刻意避免的溢折价时正时负的现象是完全正常的，不可避免的。

按面值买入的债券也需要计提溢折价，且时正时负

举个例子，1年期限债券，起息日1月1日，到期日12月31日，平年，面值100，票面年利率3.65%。在起息日按票面买入，这样期初溢折价余额为0，期末溢折价余额必须为0。那么，在这个365天内，是否计提溢折价呢？

首先，应计利息是按单利线性增加的，每天增加0.01，余额从1月1日的0.01增加到 12月31日的3.65。如果不计提溢折价，那么总的利息收入就只有应计利息的增加额，每天0.01。如前所述，总的利息收入0.01不是仅仅由面值+溢折价余额产生的，而是由面值+溢折价余额+应计利息余额产生的。也就是说，在 1月1日，面值100+溢折价期初余额0 +应计利息期初余额0 = 100 产生了利息收入0.01，而在12月31日，面值100 +溢折价期初余额0 +应计利息期初余额3.64 = 103.64产生了同样的利息收入0.01，首尾两端的日收益率分别是0.0001和0.00009649。

所以为了解决前后实际收益率不一致的问题，必须摒弃面值买入不计提溢折价的这个不合理的预设。事实上，在“年利率法”下，面值买入，不计提溢折价，这个预设只是一个会计软件的缺省设置和相关人员的惯性思维，是可以打开的。计算如下：

毫不意外，上面首尾一致的日实际收益率0.00009822和年实际收益率0.0365正好符合 的关系。

我们看到，因为Mi在整个期间保持常量，为使每日实际收益率(△Z+Mi)/(M+Z+A) 在整个期间首尾相同，当初期分母M+ Z+ A这个基数还相对比较小时，△Z列先计提负的溢折价，压制分子△Z+Mi，当△Z从负数慢慢变成0，再到正数，而这时分母M+ Z+ A也已经增为比较大的数量了，所以也需要更多的溢折价△Z，把分子△Z+Mi变大，相对于更大分母M+Z+A保持同一样的比例，即维持实际利率前后一致。

整个计算过程显示，溢折价在正负之间变化，是非常自然的，非常必要的。其实，只有期初溢折价余额绝对值足够大时，计提溢折价才会是单边运动。很多人不能接受按面值买入时不计提溢折价，而按99.99或100.01买入，马上出现巨幅的溢折价波动，以为这个是“年利率法”的缺陷，这也是许多人赞成“日利率法”的一个原因。其实，这个是受到了按面值买入，不计提溢折价这个预设的误导，正如我们前面的分析，面值买入，恰恰是最需要溢折价波动的情况。

日利率法的致命错误

如果承认溢折价时正时负是合理的和必要的，那么极力避免了这种情况的“日利率法”问题出在哪里呢？通知中附件3推导了日利率的公式，是从下面的初始公式出发的：

(M+Z)y-Mi （4）

其中:

M——面值；

y——实际日利率；

Z——每张债券溢折价余额；

i——票面日利率。

我们增加一个变量 A 应计利息余额，从上面公式出发， 看看相邻两天的关系：

Z1 - Z0 = (M+Z0) y – Mi

M + Z1+ A1 = M + Z0 + (M+Z0) y – Mi + A1

= (M+Z0) (1+y) + (A1 – Mi )

= (M+Z0) (1+y) + A0

= (M+Z0) (1+y) + A0(1+y) – A0y

=( M+Z0 + A0) (1+y) - A0y

显然，如果没有A0y，整个体系就是和谐的，第二天的全价正好是前一天全价按实际利率增长的后果。如果我们把公式（4）改变如下:

(M+Z+A)y-Mi （5）

重新演绎上面的关系：

Z1 - Z0 = (M+Z0+ A0) y – Mi

M + Z1+ A1 = M + Z0 + (M+Z0+ A0) y – Mi + A1

= (M+Z0) (1+y) + A0 y + (A1 – Mi )

= (M+Z0) (1+y) + A0 y + A0

=( M+Z0 + A0) (1+y) （6）

这个就和谐了。所以我们看到公式（4）的问题是违背了实际利率法的根本思想，应计利息的余额没有参与到增长基数之中，不符合利息再投的复利思想，不是真正的实际利率法。正是因为这个基数缺乏应计利息余额的约束，溢折价才可以单边行动，而不是时正时负。

在“年利率法”之下，我们认为面值买入不需要计提溢折价是观念错误，摒弃这个观念，打开软件的开关，还是可以得到时正时负的合理溢折价。可是在“日利率法”之下，就不是观念的错误，而是整个体系就不能支持溢折价时正时负，当面值买入时，只能无条件不提溢折价。

修正过的日利率法就是年利率法

如果用公式（5）取代（4），修正之后的日利率法是否可以继续存在呢？我认为毫无必要，比较公式（3）和（6）， 因为 PV=M+Z+A，所以

左边是日利率为y、每年付息f ×TS次的实际价值变化（实质利率+1），右边是年利率为Y、每年付息 f 次的实际价值变化，如果把 y 表示成Y’/(f×TS)，其中Y’是y 相应的年利率，那么这个公式就是典型的债券教科书上不同付息频率按实质利率转换的公式。这就非常清晰地表示，修正过的日利率法公式（5）与年利率法是完全等效的，已经没有存在的必要了。

“日利率法”刻意避免的溢折价时正时负的现象恰恰是合理的、必要的，该种方法是受更早的直线法下溢折价单边变化的惯性思维误导而提出的一种错误的方法。建议废止该方法，恢复“年利率法”。

作者单位：嘉实基金合规部

责任编辑：鹿宁宁 罗邦敏返回搜狐，查看更多