最小公倍数、最大公約数 |
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最小公倍数、最大公約数
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まずは最小公倍数、最大公約数の定義から始めます。
・最小公倍数・最大公約数 2つ以上の整数について、それらの共通な約数を公約数といい、公約数のうち最大のものを最大公約数といいます。 また、2つ以上の整数について、それらに共通な倍数を公倍数といい、公倍数のうち正で最小のものを最小公倍数といいます。
(例)\(12\)と\(18\)の公約数について \(12\)の約数:\(1,2,3\)\(,4,\)\(6\)\(,12\) \(18\)の約数:\(1,2,3,6\)\(,9,18\) 正の公約数:\(1,2,3,6\) 最大公約数\(6\)
\(12\)と\(18\)の公倍数について \(12\)の倍数:\(12,24,\)\(36\)\(,48,60,\)\(72\)\(,84,96,\)\(108\)\(,・・・\) \(18\)の倍数:\(18,\)\(36\)\(,54,\)\(72\)\(,90,\)\(108\)\(,・・・\) 正の公倍数:\(36,72,108,・・・\) 最小公倍数\(36\)
・最小公倍数・最大公約数の性質 ①上の例からも分かりますが、公約数は最大公約数の約数、公倍数は最小公倍数の倍数となります。(厳密には証明が必要です)
②2つの自然数\(A,B\)の最大公約数を\(g\)とすると \(A=ag\), \(B=bg\) (\(a,b\)は自然数)と表すことができます。 このとき (1)\(a,b\)の最大公約数は\(1\)となる。(互いに素であるともいう) \(g\)は最大公約数なので、\(a,b\)に共通の約数で正のものは\(1\)しかありません。もし\(1\)より大きい公約数があるならば、\(g\)が最大公約数であることに矛盾します。 (例) \(12=6×2\), \(18=6×3\) \(2,3\)は互いに素。(2)\(A,B\)の最小公倍数を\(l\)とすると、 \(l=gab=Ab=aB\) \(a,b\)は互いに素であり、\(g\)は共通な因数なので、\(ab\)に\(g\)を掛けたものが\(A,B\)の最小公倍数になります。 (例) \(12=6×2\), \(18=6×3\) より \(l=6×2×3=36\)(3) \(AB=gl\) \(AB=ag×bg=g×gab=gl\) です。 よって、2つの自然数の積は、2つの自然数の最小公倍数と最大公約数の積となります。
では実際に最小公倍数、最大公約数を求める問題を解いてみます。
(例題1) \(32\)と\(72\)の最小公倍数と最大公約数をそれぞれ求めよ。
(解答1)素因数分解を利用する方法 \(32=2^5\) \(72=2^3×3^2\) だから \(32=2^3×2^2=8×4\) \(72=2^3×3^2=8×9\)
よって、 最小公倍数は \(8×4×9=\)\(288\) 最大公約数は \(8\) 次のように求めることもできます。 \(32\)と\(72\)を素因数分解したときに、各因数の最も次数が高いもの(\(2^5\)と\(3^2\))を掛けたものが最小公倍数となります。 \(32\)に□を掛けて、\(72\)に△を掛けて同じにするには、□は\(3^2\)で、 △は\(2^2\)だと最も数が小さくなります。できた数は、\(2^5×3^2\) であり、これは最も次数が高いものを掛けたものになっています。 なお、最大公約数は、各因数で次数が最も低いもの(\(2^3\)と\(3^0(=1)\))を掛けたものになります。
(解答2)共通な素因数で割っていく方法
やってることは素因数分解の方法とあまり変わりません。
(例題2) 3つの数、\(24,30,168\) の最大公約数と最小公倍数を求めよ。
(解答1)素因数分解を利用する方法 \(24=2^3×3\) \(30=2×3×5\) \(168=2^3×3×7\) だから \(24=2×3×2^2=6×4\) \(30=2×3×5=6×5\) \(168=2×3×2^2×7=6×28\)
よって、最大公約数は\(6\) 最小公倍数は、\(4,5,28(=4×7)\) の最小公倍数が \(4×5×7=140\) であるから \(6×140=\)\(840\) 次数の大きさに着目すると 最小公倍数は、最も次数が高いものを選んで掛けると \(2^3×3×5×7=840\) 最大公約数は、次数が低いものを選んで掛けると \(2×3=6\)
(解答2)共通な素因数で割っていく方法
最大公約数は\(6\) 最小公倍数は\(840\) 3つの数の最小公倍数を求めるには、この例のように2つの数に共通な因数がある場合には注意が必要です。単純に\((2×3)×(4×5×28)\) が最小公倍数にはなりません。これだと\(4,5,28\)の最小公倍数が、\(560\) としていて誤りです。
以上になります。お疲れさまでした。 ここまで見て頂きありがとうございました。 →高校数学TOP next→最小公倍数、最大公約数と未知数の決定 back→実験的解法と倍数 |
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