矩阵论（四）Hermite 二次型

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矩阵论（四）Hermite 二次型

2024-04-28 18:52| 来源: 网络整理| 查看: 265

第一节 H阵-正规阵 H阵

定义：若 $A^H=A$ 称A是Hermite矩阵，简称H阵。

H阵的性质：

H阵的主对角线元素都为实数 H阵的特征值均是实数 H阵属于不同特征值的特征向量相互正交若A是H阵，则一定存在酉矩阵U，使得 $U^HAU$ 是对角阵正规阵

定义：设 $A\in C^{n\times n},若A^HA=AA^H$ ，则称A是正规阵例：H阵，酉矩阵，反H阵均是正规阵。

可以证明：A既是上三角的，又是正规的，则A一定是对角阵。

定理： $A\in C^{n\times n}$ 是正规阵 $\Leftrightarrow A$ 酉相似于对角阵定理： $A\in C^{n\times n}$ 是正规阵 $\Leftrightarrow A$ 有n个相互正交的单位特征向量

第二节 Hermite二次型

定义：设A，B是H阵，若有可逆阵C使得 $B=C^HAC$ ，则称A与B是合同的。定理：hermite矩阵A，B共轭合同 $\Leftrightarrow$ A，B有相同的正负惯性指数。

正定性

定义：设A是H阵， $f(X)=X^HAX$ ，若对 $\forall x_0\neq 0,f(x)0$ 则称f是正定的，A是正定的矩阵。

定理：设A是 $H^{n\times n}$ 阵，则下述条件等价：

A是正定的 A的特征值均大于0 A与E共轭合同存在可逆P是 $A=P^HP$ A的各顺序主子式均大于零其他正定性

设A是H阵， $f(X)=X^HAX$ 若对 $\forall x_0\neq 0,f(x)0$ ，则称f是负定的，A是负定的H阵。若对 $\forall x_0\neq 0,f(x)\geq 0$ ，则称f是半正定的，A是半正定的H阵。若对 $\forall x_0\neq 0,f(x)\leq0$ ，则称f是半负定的，A是半负定的H阵。

判断f是负定的 $\Leftrightarrow$ 奇数阶顺序主子式0

定理：设A是 $H^{n\times n}$ 阵，则下述条件等价：

A是半正定的 A的特征值 $\geq$ 0 A与 $\left(\begin{array}{cc}I_r&\\ &0 \end{array}\right)$ 共轭合同存在P是 $A=P^HP$ A的各主子式 $\geq0$ 第三节 Rayleigh商

设A是H阵，则 $\forall X\in C^n,X^HAX\in R$ ,可以定义一复变量的实值函数 $R(X)=\frac{X^HAX}{X^HX} ,\forall \theta\neq X\in C^n$ 称此函数为A的Raileigh商。

定理：假设 $H阵A\in C^{n\times n},A的特征值\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$ ,则 $\lambda_1=\min_{\theta\neq X\in C^n}R(X)$ $\lambda_n=\max_{\theta\neq X\in C^n}R(X)$

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