首先且最重要的，非退化在不同的语境下有不同的含义，可以“非退化的矩阵”，“非退化线性变换”，“非退化的双线性函数”等等等等，但是！他们的本质是相同的——都是对“线性无关”的刻画。

下面给出在一些情况下的定义

即行列式不为零，即矩阵可逆

对于一个线性变换 { x 1 = c 11 y 1 + c 12 y 2 + ⋯ + c 1 n y n x 2 = c 21 y 1 + c 22 y 2 + ⋯ + c 2 n y n ⋮ x n = c n 1 y 1 + c n 2 y 2 + ⋯ + c n n y n ⇔ X = C Y \left\{\begin{array}{lr} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n \\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n \\ \vdots \\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{nn}y_n \\ \end{array}\right.\Leftrightarrow X=CY ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x1​=c11​y1​+c12​y2​+⋯+c1n​yn​x2​=c21​y1​+c22​y2​+⋯+c2n​yn​⋮xn​=cn1​y1​+cn2​y2​+⋯+cnn​yn​​⇔X=CY 该线性变换非退化，即系数矩阵C非退化

非退化线性替换有什么性质？

保持二次型的形式，比如 f ( x 1 , . . . , x n ) = X ′ A X = ∑ i , j a i j x i x j f(x_1,...,x_n)=X'AX=\sum\limits_{i,j}a_{ij}x_ix_j f(x1​,...,xn​)=X′AX=i,j∑​aij​xi​xj​为二次型，使用 X = C Y X=CY X=CY，得 X ′ A X = ( C Y ) ′ A ( C Y ) = Y ′ ( C ′ A C ) Y = Y ′ B Y ， 其 中 X'AX=(CY)'A(CY)=Y'(C'AC)Y=Y'BY，其中 X′AX=(CY)′A(CY)=Y′(C′AC)Y=Y′BY，其中 B ′ = ( C ′ A C ) ′ = C ′ A ′ C = C ′ A C = B B'=(C'AC)'=C'A'C=C'AC=B B′=(C′AC)′=C′A′C=C′AC=B，即B对称 即 Y ′ B Y Y'BY Y′BY这个用y所表示的“算式？”也是一个二次型。

即其度量矩阵是非退化的

非退化双线性函数有什么性质？

若 f f f为非退化双线性函数，且 f ( α , β ) = 0 f(\alpha,\beta)=0 f(α,β)=0对任意的 β ∈ V \beta\in V β∈V均成立，则 α = 0 \alpha=0 α=0。能否简述原因？

取V的基 β 1 , ⋯   , β n \beta_1,\cdots,\beta_n β1​,⋯,βn​，考虑 f ( α , β i ) = X ′ A Y i = 0 f(\alpha,\beta_i)=X'AY_i=0 f(α,βi​)=X′AYi​=0。 把这些 Y i Y_i Yi​并在一起，与A相乘仍然为可逆阵。 等式两边同时乘上他们的逆，就ok啦~ 注：这条也是另一种定义“非退化双线性函数”的方式

参考： 纸质版《高等代数》 第五版5版 王萼芳 北京大学数学系代数 高等教育出版社